Stanislas
T.D. 16
Calcul matriciel
Convergence d'une suite de matrices stochastiques MPSI 1 2015/2016
Exercice 1. (Limite d’une matrice stochastique)Soienta, b∈]0,1[tels quea+b= 1. Soitf l'endo- morphisme deR3 dont la matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3)est A=
1 0 0 b a 0 0 b a
.
1. Étude def −Id.
a) Déterminer à quelle condition un vecteur u = (x, y, z) appartient au noyau de f −Id. Expliciter une base du sous-espace vectorielKer(f −Id).
b)Montrer que (e2, e3) est une base deIm(f −Id).
c) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker(f −Id) et Im(f −Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deR3.
d) Soit p le projecteur sur Ker(f −Id) parallèlement à Im(f −Id). Soit v = e1 +e2+e3. Déterminer p(v) puis p(e2), p(e3) et p(e1). Expliciter la matrice P associée à p dans la base canonique.
2. Une limite de matrices.
a)Montrer que B0 = (v, e2, e3) est une base deR3.
b) Déterminer, sans utiliser les formules de changement de base, la matrice A0 associée à f dans la baseB0.
c)Pour tout entier naturel non nul k, déterminerMk0 la matrice de fk dans la baseB0. d)En déduire la valeur de la matriceMk de fk dans la baseB.
e) Déterminer la limite de la suite (Mk) lorsque k tend vers +∞ (i.e. la matrice dont les coecients sont la limite des coecients deMk). Comparer cette matrice avec la matriceP. Exercice 2.Soit R4 l'espace vectoriel muni de la base canonique (e1, e2, e3, e4). Étant donné un nombre réel α, on considère l'endomorphisme f de R4 dont la matrice dans la base canonique
estA=
1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 0 α α α 0 0
.
1. Noyau et image def.
a)Déterminer selon les valeurs de α une base de l'image et une base du noyau def.
b)Pour quelles valeurs deαl'image et le noyau def sont-ils des sous-espaces supplémentaires de R4?
Dans toute la suite, on suppose que α est diérent de 0. Soit λ∈ R. On poseε1 =λe1 +αe4, ε2 =e2,ε3=e3 etB= (ε1, ε2, ε3). On noteF = Imf.
2. Déterminerλpour que B soit une base deF. Dans la suite, on supposeraλainsi xé.
Soitg la restriction de f àF.
3. Montrer queg est un endomorphisme deF et écrire la matrice B de g dans la baseB.
4. Montrer queg est inversible et calculer la matrice deg−1 dans la base B.
5. Soith l'endomorphisme deR4 vérianth(εi) =g−1(εi), i= 1,2,3 etKerf = Kerh.
a)Montrer que ces deux conditions dénissent bienhet écrire la matriceD deh dans la base canonique.
b)Déterminer f◦h◦f.
Stanislas A. Camanes
