Sup PCSI 2 — Colles n◦ 21 et 22 — Quinzaine du 22/3/2010 au 2/4/2010
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 R´ evision
Tout ce qui est calcul : limites, ´equivalents, d´eveloppements limit´es, int´egrales. . .
2 Calcul matriciel
E etF sont deuxK-e.v. de dimension finie.
•Matrice, not´ee MatB,C(u), deu∈ L(E, F), dans des basesB deEet C deF. D´efinition de Mn,p(K).
• Somme de matrices, produit d’une matrice par un scalaire. La fonction u ∈ L(E, F) 7→ MatB,C(u) ∈ Mn,p(K) est un isomorphisme deK-e.v.
•D´efinition de la base canonique deMn,p(K) : Ωi,j est la matrice d´efinie par (Ωi,j)ℓ,k=δi,ℓδj,k. Dimension deL(E, F).
•Matrice, not´ee MatB(u), deu∈ L(E) dans une baseBdeE.
• Produit de deux matrices ; associativit´e du produit matriciel. La fonction u∈ L(E) 7→MatB(u) est un isomorphisme d’anneaux.
•Expression du produit Ωi,jΩℓ,k. Por,>2, l’anneauMn(K) n’est ni commutatif, ni int`egre.
• Matrices inversibles ; elles forment un groupe multiplicatif not´eGLn(K). Isomorphisme entre GLn(K) et GL(Kn).
•Une matrice est inversible ssi elle est la matrice d’un isomorphisme ; ssi elle poss`ede une inverse `a gauche ; ssi elle poss`ede une inverse `a droite.
•Transposition ; matrices sym´etriques, anti-sym´etriques.
•Matrices triangulaires sup´erieures : elles forment un sous-anneau et un s.e.v. de Mn(K).
• Matrices triangulaires sup´erieures `a diagonale unit´e : elles forment un sous-groupe deGLn(K) ; la preuve n’est pas exigible.
•Matrices diagonales ; CNS d’inversibilit´e.
• Op´erations ´el´ementaires, not´ees Li ← αLi, Li ↔ Lj et Li ← Li −αLj; interpr´etation en termes de produits `a gauche par des matrices ´el´ementaires ; celles-ci sont explicit´ees dans la base canonique deMn(K).
• ◮ Algorithme de calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee, par la m´ethode des op´erations ´el´ementaires ; mise en œuvre de cet algorithme.
• Matrice, dans une baseB d’unK-e.v. de dimension n, d’une famille finie (vj)16j6p de pvecteurs de cet espace.
•Matrice de passagePB,C d’une baseB`a une baseC; c’est la matrice de la familleC dans la baseB. C’est aussi MatC,B(IdE).
• ◮ Effet d’un changement de base(s) sur les coordonn´ees d’un vecteur, sur la matrice d’une application lin´eaire, sur la matrice d’un endomorphisme.
•Rang d’une matrice. A∈ Mn,p(K) est de rangrssi il existeU etV inversibles telles queA=U J<n,p,r>V. Invariance du rang par transposition.
•◮ Calcul pratique du rang d’une matrice.
•◮ Trace d’une matrice carr´ee ; tr(AB) = tr(BA).
