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2 Calcul matriciel

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Sup PCSI 2 — Colles n 21 et 22 — Quinzaine du 22/3/2010 au 2/4/2010

Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.

1 R´ evision

Tout ce qui est calcul : limites, ´equivalents, d´eveloppements limit´es, int´egrales. . .

2 Calcul matriciel

E etF sont deuxK-e.v. de dimension finie.

•Matrice, not´ee MatB,C(u), deu∈ L(E, F), dans des basesB deEet C deF. D´efinition de Mn,p(K).

• Somme de matrices, produit d’une matrice par un scalaire. La fonction u ∈ L(E, F) 7→ MatB,C(u) ∈ Mn,p(K) est un isomorphisme deK-e.v.

•D´efinition de la base canonique deMn,p(K) : Ωi,j est la matrice d´efinie par (Ωi,j)ℓ,ki,ℓδj,k. Dimension deL(E, F).

•Matrice, not´ee MatB(u), deu∈ L(E) dans une baseBdeE.

• Produit de deux matrices ; associativit´e du produit matriciel. La fonction u∈ L(E) 7→MatB(u) est un isomorphisme d’anneaux.

•Expression du produit Ωi,jℓ,k. Por,>2, l’anneauMn(K) n’est ni commutatif, ni int`egre.

• Matrices inversibles ; elles forment un groupe multiplicatif not´eGLn(K). Isomorphisme entre GLn(K) et GL(Kn).

•Une matrice est inversible ssi elle est la matrice d’un isomorphisme ; ssi elle poss`ede une inverse `a gauche ; ssi elle poss`ede une inverse `a droite.

•Transposition ; matrices sym´etriques, anti-sym´etriques.

•Matrices triangulaires sup´erieures : elles forment un sous-anneau et un s.e.v. de Mn(K).

• Matrices triangulaires sup´erieures `a diagonale unit´e : elles forment un sous-groupe deGLn(K) ; la preuve n’est pas exigible.

•Matrices diagonales ; CNS d’inversibilit´e.

• Op´erations ´el´ementaires, not´ees Li ← αLi, Li ↔ Lj et Li ← Li −αLj; interpr´etation en termes de produits `a gauche par des matrices ´el´ementaires ; celles-ci sont explicit´ees dans la base canonique deMn(K).

• ◮ Algorithme de calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee, par la m´ethode des op´erations ´el´ementaires ; mise en œuvre de cet algorithme.

• Matrice, dans une baseB d’unK-e.v. de dimension n, d’une famille finie (vj)16j6p de pvecteurs de cet espace.

•Matrice de passagePB,C d’une baseB`a une baseC; c’est la matrice de la familleC dans la baseB. C’est aussi MatC,B(IdE).

• ◮ Effet d’un changement de base(s) sur les coordonn´ees d’un vecteur, sur la matrice d’une application lin´eaire, sur la matrice d’un endomorphisme.

•Rang d’une matrice. A∈ Mn,p(K) est de rangrssi il existeU etV inversibles telles queA=U J<n,p,r>V. Invariance du rang par transposition.

•◮ Calcul pratique du rang d’une matrice.

•◮ Trace d’une matrice carr´ee ; tr(AB) = tr(BA).

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