Chapitre 28 Exponentielle d'une matrice / d'un endomorphisme

Mathématiques – fiche : Chap 28 : Exponentielle d'un endomorphisme et d'une matrice

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Chap 28 : Exponentielle d'un endomorphisme et d'une matrice

Préliminaire (HP)

0

( , ) 0. ,

(0, )

algèbre de Banach, série entière de rayon Alors, pour tout

converge, et est continue

n n

A n

n

n n

n

z

A a R u A u R

B R A

a u u a u





  

 







 

I. Généralités

0

( , )

! exp( )

! Si est une algèbre de Banach, pour tout , converge,

sa somme est une fonction continue sur : ^u

n n

n

A u A u

n A u e u

n







 





( )Cas particuliers : ( ) où est de dim finie, ou bien ( ), ou Toute norme sur est équivalente à une norme d'algèbre

I

A E E A n

A

L M 

, 1

(Développer, , sommes par

, ^u _{n k} tielles, maj.)

n n

u n

u A I e

n ^ 

 

    

II. Exponentielle de matrices

0

( ) exp( ) Pour !

k n

A k

A A e A

k





^M  



1 1

( , )A P _n( ) GL_n( ) e^PAP P e P^{ A}

 M  

( ),det tr^A ( )

n

A A

A e e e GLn

 M   

2 2

0 cos sin

~ ( , ) exp

0 si

, (

n c

,

( ) s

)

o semblables et semblables

sans vp réelle :

n

a b

b a

A B A B A B

A A a b   

  

  

 

 

 

  

 

   





   

   

 M M

( ) {exp( ) / ( ), } (Décomposition en rotations...)

n n

SO  A AM tA A ( ) ( ) [

exp :

e ,

x 0

p est une bijection (Surj : diago. Inj : ] , sur espaces propres)

n n u

S u

S e

A A

  

 

