MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris

Page 1/2 16/01/2020

Feuille 13

Exercice 1.

Soit le système linéaire suivant :

{ 𝑥 + 2𝑦 = 1 3𝑥 + 𝑚𝑦 = 9

1) Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour résoudre ce système et discuter suivant les valeurs de 𝑚.

2) Mettre le système linéaire sous la forme 𝐴𝑋 = 𝐵. Dans quel cas la matrice 𝐴 est-elle inversible ? Le cas échéant, en déduire la solution du système linéaire.

Exercice 2.

Soit la matrice A : (

−3 4 2

−2 3 1

2 −2 0 ) 1) Calculer 𝐴

+ 𝐴.

2) En déduire que la matrice A est inversible et calculer la matrice 𝐴

. Vérifier le résultat.

Exercice 3.

On considère l’ensemble 𝐹 suivant : 𝐹 = { (

𝑥 𝑦 𝑧

) ∈ ℝ

/ 𝑥 + 𝑦 + 𝑚 = 0 et 𝑥 + 3𝑚𝑧 = 0 }

Sous quelle condition sur 𝑚 l’ensemble 𝐹 est-il un sous-espace vectoriel de ℝ

?

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Page 2/2 Exercice 4.

Soient les 3 vecteurs : 𝑢 ( 1 1 3

) , 𝑣 ( 2 3 5

) et 𝑤 ( 2

−2 8

) de ℝ

. 1) Ces 3 vecteurs sont-ils linéairement indépendants ? 2) Ces 3 vecteurs forment-ils une base de ℝ

?

Exercice 5.

On considère les applications suivantes :

𝑓: ℝ

→ ℝ

𝑔: ℝ

→ ℝ

ℎ: ℝ

→ ℝ

( 𝑥

𝑦) → ( 𝑥 + 𝑦

0 𝑥 − 𝑦

) ( 𝑥 𝑦 𝑧

) → (

𝑥 + 𝑧 0 𝑥 − 𝑦

) ( 𝑥

𝑦) → (

(1 + 𝑎)𝑥 + 𝑦 + 𝑎

− 3𝑎 + 2 𝑥 + (2 − 𝑎)𝑦 + 𝑎

+ 4𝑎 − 5 )

1) Les applications 𝑓, 𝑔 et ℎ sont-elles des applications linéaires ? 2) Le cas échéant, donner la matrice correspondante.

N.B. On considère que les espaces vectoriels ℝ

et ℝ

sont munis de leur base

canonique respective.