CALCUL MATRICIEL DEVOIR LIBRE9
Calcul matriciel – Devoir libre 9
Exercice 1
On considère les matricesA=
2 1 −5
−3 −2 3
1 1 −4
etP=
1 1 1
−1 0 1
0 1 1
.
1. Montrer que la matriceP est inversible et déterminerP−1. 2. CalculerP−1×A×P.
3. En déduire l’expression deAn, oùn∈N.
Exercice 2
SoitM=(mi,j)∈Mn(K) une matrice. On définit latracedeMpar Tr(M)=
n
X
i=1
mi,i. La tracer deM est donc la somme de ses coefficients diagonaux.
1. Montrer que, pour tout (A,B)∈Mn(K)×Mn(K) et (λ,µ)∈K2, Tr(λ.A+µ.B)=λ×Tr(A)+µ×Tr(B).
2. Montrer que, pour toutA∈Mn(K), Tr(A>)=Tr(A).
3. Montrer que, pour toute matrice (A,B)∈Mn(K)×Mn(K), Tr(A×B)=Tr(B×A).
4. En déduire que, pour toutA∈Mn(K) etP∈GLn(K), Tr(P−1×A×P)=Tr(A).
5. SoitA∈Mn(R). On suppose que Tr(tA×A)=0. Montrer queAest la matrice nulle.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
