TD 1 : Calcul vectoriel, calcul matriciel, espaces vectoriels

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TD 1 : Calcul vectoriel, calcul matriciel, espaces vectoriels

Exercice 1 : Déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de ℳ_,(ℝ) : 1) = ∈ ℳ^,(ℝ)/ ∈ ℝ 2) =

∈ ℳ^,(ℝ)/ = −3 3) = 1 ∈ ℳ^,(ℝ)/ ∈ ℝ

Exercice 2 : Déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de ℳ_,(ℝ) : 1) =

∈ ℳ_,(ℝ)/ + 2 − 3 = 0 2) =

∈ ℳ_,(ℝ)/ + 2 − = 2

Exercice 3 : Soit ℳ(ℝ), l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2.

Soient = 1 00 0 , ! = 0 1

1 0 #$ % = 0 0 0 1.

Montrer que S₂, l’ensemble des matrices carrées symétriques d’ordre 2 est un sous-espace vectoriel de ℳ(ℝ).

Exercice 4 : Soit &(', (, )) = ' ' ' 0 ( (

0 0 ) et * = +&(', (, ))/(', (, )) ∈ ℝ, Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℳ(ℝ).

Exercice 5 : Soit &(', () = -' + 2( −( −2(

2( ' − ( −4(

−( ( ' + 3(/ et * = +&(', ()/(', () ∈ ℝ, Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℳ(ℝ).

Exercice 6 : Soient 0 = -0 0 0 0 −1 0

0 0 1/ et = -−1 0 0 0 0 0 0 0 1/.

Montrer que l’ensemble E des matrices N carrées d’ordre 3 telles que DN = NC est un espace vectoriel réel.

Exercice 7 : On note ₁l’ensemble des matrices de ℳ(ℝ) qui commutent avec 2 = -0 1 0 0 0 1 0 0 0/. Montrer que ₁ est un sous-espace vectoriel de ℳ(ℝ) et que ₁ = 3#)$(4, 2, 2).

Exercice 8 : 1) Montrer que l’ensemble des matrices diagonales de ℳ(ℝ)est un sev de ℳ(ℝ) dont on donnera la dimension.

2) Même question avec l’ensemble des matrices symétriques de ℳ(ℝ) puis les matrices antisymétriques.

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Exercice 9 : On associe à tout triplet (, , ) de nombres réels la matrice &(, , ) définie par :

&(, , ) = -

/. La matrice &(1,0,0) n’est autre que la matrice identité 4 et la matrice

&(0,1,0) sera notée 5.

1) Calculer les matrices 5² et 5.

2) Etablir que l’ensemble des matrices de la forme &(, , ), où (, , ) décrit ℝ, constitue un sous- espace vectoriel de ℳ(ℝ).

3) Montrer que (4, 5, 5²) forme une base de E.

Exercice 10 : 1) La famille 6-2 13/ , -1

02/ , -1

11/7 est-elle une famille libre de vecteurs de ℳ_,(ℝ) ? Et la famille 6-2

13/ , -1 02/ , -0

11/7 ? 2) La famille 12,2

3 , 3

4 est-elle une famille liée de vecteurs de ℳ_,(ℝ) ? Et la famille 12,2

3 ?

Exercice 11 : Déterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels de ℳ_,(ℝ) définis par :

1) + 2 = 0 2) 82 − = 0 + = 09 3) 84 − 2 + 6 = 0−2 + − 3 = 09 4) ; − 3 − = 0 2 − 5 + 2 = 0 3 − 7 + 5 = 09

Exercice 12 : On note >, ? et @ les suites définies par : ∀B ∈ ℕ, >_D = 2^D, ?_D = 3^D et @_D = 4^D. Montrer que la famille (>, ?, @) est une famille libre de l’ensemble des suites numériques.

Exercice 13 : Notons * l’espace vectoriel des applications définies sur ℝ à valeurs dans ℝ. 1) On note H_I, H et H les fonctions définies par : ∀ ∈ ℝ, H_I() = 1, H() = #^JK et H() = #^JK. Montrer que la famille (H_I, H, H) est une famille libre de l’ensemble *.

2) Notons de même H_L la fonction définie, pour tout réel , par H_L() = #^JLK, pour tout M ∈ N0; BP où B désigne un entier naturel. Que dire de la famille (H_I, H, … , H_D) pour * ?

Exercice 14 : Soient, dans ℝ, les vecteurs > = (0,1,1), ? = (2,0, −1) et @ = (2,1,1). 1) Montrer que (>, ?, @) est une base de ℝ.

2) Quelles sont, dans cette base, les coordonnées du vecteur = (4, −1, −2) ?

Exercice 15 : Soient, dans ℝ, les vecteurs > = (1,0, −1), > = (−1,2,1) et > = (3, −4, −3). 1) Déterminer le rang de la famille (>, >, >).

2) Déterminer une base de Vect(>, >, >).