Calcul vectoriel

Calcul vectoriel

Exercice 1

Soient A et B deux points distincts donnés. Dans chacun des cas suivants, déterminer et construire le point M vérifiant l'égalité proposée après avoir exprimé AM en fonction de

AB.

1) 3AB+2MA=0 2) 3AB=2MB

3) 3MA−2MB=0 4) MA+2MB=3AB

Exercice 2

Soient A, B et C trois points non alignés. Dans chacun des cas suivants, déterminer et construire le point M vérifiant l'égalité proposée après avoir exprimé AM en fonction de AB et AC.

1) AM +2AB=3AC 2) 2BM −BA=2AC

3) BM −2AC=CB 4) 2AM −BC =BM

5) MA+2MB=4MC Exercice 3

Soient M, N et O trois points non alignés et ur=OM et vr=ON.

1) En utilisant le quadrillage, construire les points A, B et C définis par : u

OA=3r ; OB=−2vr ; OC =−ur+3vr.

2) Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

3) Exprimer OD en fonction de et de . ur vr Exercice 4

A, B et C sont trois points tels que 5AC =3AB+2BC.

Chercher une relation entre BC et BA, puis en déduire que A, B et C sont alignés.

Exercice 5

Soient ABCD un parallélogramme et E et F les points définis par BE AB 2

= 1 et AF =3AD. 1) Faire une figure.

2) Montrer que EC = BA+BC 2

1 .

3) Montrer que EF =3EC.

Solutions

Exercice 1

1) AB MA MA AB AM AB AM AB

2 3 3

2 3

2 0 2

3 + = ⇔ =− ⇔− =− ⇔ = .

A B M

2) 3AB=2MB ^⇔3AB=2

(

)

AB MA=−

−

⇔ 2 ⇔2AM =−AB AM AB 2

−1

=

⇔ .

A B

M

3) 3MA−2MB=0 ^⇔3MA−2

(

)

AB AM =−2

⇔ .

A B

M

4) MA+2MB=3AB ^⇔MA+2

(

)

AB MA=

⇔3 ⇔−3AM = AB AM AB 3

−1

=

⇔ .

A B

M

Exercice 2

1) AM +2AB=3AC AC AB AM =−2 +3

⇔ .

On construit successivement le point R tel que AB

AR=−2 , le point S tel que AS =3AC, et enfin le point M tel que AM = AR+AS. (de sorte que ARMS soit un parallélogramme)

A B

R C

S M

2) 2BM −BA=2AC

(

)

2 + − =

⇔

AC BA

AM

BA 2 2

2 + − =

⇔

AC AB

AM 2

2 = +

⇔ ^{AM =} ₂¹

(

)

⇔

AC AB AM = +

⇔ 2

1 .

La méthode de construction et les notations sont les mêmes que précédemment.

A B

C R

S M

3) BM −2AC=CB

AB CA AC AM

BA+ − = +

⇔ 2

AC AB AM = +

⇔ 2 .

A B

C

R S

M

4) 2AM −BC= BM

(

)

AM − + = +

⇔2

AM BA AC BA

AM − − = +

⇔2

AC BA AM

AM − = +

⇔2 2

AC AB AM =− +

⇔ 2 . ^{A B}

R CS

M

5) MA+2MB=4MC

(

) (

)

MA+ + = +

⇔ 2 4

AC MA

AB MA

MA+2 +2 =4 +4

⇔

AC AB

MA MA

MA+2 −4 =−2 +4

⇔

AC AB

AM =−2 +4

⇔ . _A B

C R

M S

Exercice 3

1) et 2) : Voir figure.

3) ABCD est un parallélogramme donc BC

BA BD= +

OC BO OA BO OD

BO+ = + + +

⇔

OC BO OA

OD= + +

⇔

v u v u

OD=3r+2r−r+3r

⇔

v u OD=2r+5r

⇔ .

Exercice 4

On cherche une relation entre BC et BA. Pour cela, utilisons la relation de Chasles et remplaçons AC par AB+BC.

BC AB AC 3 2

5 = + ^⇔5

(

)

AB AB BC

BC 2 3 5

5 − = −

⇔ ⇔3BC=−2AB ⇔3BC=2BA. Finalement, BC BA

3

= 2 donc les points A, B et C sont alignés.

Exercice 5

1) Figure 2) EC= EB+BC =− AB+BC

2

1 BA+BC

2

= 1 . 3) EF =EA+ AF.

BE AB

AE= + AB AB 2 +1

= , d'où EA BA

2

= 3 .

Et AF =3BC car ABCD est un

parallélogramme, donc AD=BC. Alors EF BA 3AD

2

3 +

= BA 3BC

2

3 +

= , et on

remarque que EF =3EC.

4) On en déduit que les points E, C et F sont alignés.

Exercice 6

1) D₁ est tel que AD AB 2 1

1 = , puis D est tel que D₁D= BC.

E1 est tel que AE AC 2 3

1 = , puis E est tel que BA

E = E₁ .

2) DE =DA+AE = BA+CB+ AC+BA 2

3 2

1

CA AC BA+ +

= 2

3 2

1 BA AC

2 1 2

1 +

= 2BC

= 1 . Donc DE et BC BC

sont colinéaires, donc les droites

(

)

( )