Groupe de Galois et r´eduction modulo un nombre premier

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Chapitre 5

Groupe de Galois et r´ eduction modulo un nombre premier

Le principal objet de ce chapitre est d’expliquer comment la considération de la factorisation modulo un nombre premier d’un polynôme unitaire à coefficients entiers fournit des informations sur le groupe de Galois de ce polynôme.

Proposition 5.1. Soit P un polynˆome unitaire non constant de Z[X].

Soient Q ⊂ K une extension de scindement de P (considéré comme un polynôme de Q[X]), R l’ensemble des racines de P dans K et A le sous- anneau de K engendré par R (et Z).

(a) Comme Z-module, A est libre de dimension finie et sa dimension est la mˆeme que celle de K comme Q-espace vectoriel (A est un r´eseau dans K).

Soit p un nombre premier. Soit P¯ le polynôme (unitaire non constant, avec même degré que P) de Fp[X] obtenu en réduisant modulo p les coefficients de P.

(b)SoitFp ⊂Lune extension (autrement dit, soit Lun corps de caract´eristi- que p). Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) Il existe un homomorphisme d’anneaux surjectif de A dans L.

(ii) L’extension Fp ⊂L est une extension de scindement de P¯.

(c) Soient F^p ⊂ L une extension de scindement de P¯ et R¯ l’ensemble des racines de P¯ dans L. Tout homomorphisme d’anneaux de A dans L induit une surjection de R sur R¯ (et est surjectif ).

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Théorème 5.2. Soit P un polynôme unitaire non constant de Z[X]. Soient Q ⊂ K une extension de scindement de P (considéré comme un polynôme de Q[X]), R l’ensemble des racines de P dans K et A le sous-anneau de K engendré par R (et Z).

Soit p un nombre premier. Soit P¯ le polynôme (unitaire non constant, avec même degré que P) de F^p[X] obtenu en réduisant modulo p les coefficients de P. Soient Fp ⊂L une extension de scindement de P¯ et R¯ l’ensemble des racines de P¯ dans L.

On suppose que le polynˆome P¯ est s´eparable.

Alors :

(a) Le polynôme P (considéré comme un polynôme de Q[X]) est séparable.

(b) Il existe un homomorphisme d’anneaux de A dans L ; un tel homomorphisme induit une bijection de R sur R¯ (et est surjectif ).

(c) Soient G et G¯ les groupes de Galois respectifs des extensions Q ⊂ K et Fp ⊂ L ; l’automorphisme de l’anneau A induit par un élément σ de G est encore noté σ. Soit enfin Hom(A, L) l’ensemble des homomorphismes d’anneaux de A dans L.

(c.1) L’action à droite évidente du groupe G sur l’ensemble Hom(A, L) est libre : ρ◦σ =ρ, avec ρ dans Hom(A, L) et σ dans G, implique que σ est l’identité.

(c.2) L’action à droite évidente du groupe G sur l’ensemble Hom(A, L) est transitive : pour tout couple (ρ, ρ⁰) d’éléments de Hom(A, L) il existe un élément σ de G tel que l’on a ρ⁰ =ρ◦σ.

(c.3) L’action à gauche évidente du groupe G¯ sur l’ensemble Hom(A, L) est libre : τ◦ρ= ρ, avec τ dans G¯ et ρ dans Hom(A, L), implique que τ est l’identité.

(Précisons lourdement l’énoncé du point (c) : un automorphisme σ de K induit un automorphisme de l’anneau A parce que l’inclusion σ(R) ⊂ R implique l’inclusion σ(A)⊂A.)

La démonstration de la proposition 5.1 et du théorème 5.2 est renvoyée à la fin du chapitre. On explicite auparavant les informations que donnent le théorème 5.2 sur le groupe de Galois d’un polynôme unitaire à coefficients entiers.

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Corollaire 5.3. Soit P un polynôme unitaire non constant de Z[X]. Soient Q ⊂ K une extension de scindement de P (considéré comme un polynôme de Q[X]) et R l’ensemble des racines de P dans K.

Soit p un nombre premier. Soit P¯ le polynôme (unitaire non constant, avec même degré que P) de Fp[X] obtenu en réduisant modulo p les coefficients de P. Soient F^p ⊂L une extension de scindement de P¯ et R¯ l’ensemble des racines de P¯ dans L.

Alors :

(b) Soient G et G¯ les groupes de Galois respectifs des extensions Q⊂ K et Fp ⊂ L. Il existe un homomorphisme de groupes injectif g : ¯G → G et une bijection d’ensembles h: ¯R→R vérifiant les propriétés suivantes :

(C) Le couple (g, h) est compatible avec les actions de G¯ sur R¯ et de G sur R, c’est-`a-dire que l’on a h(τ(β)) =g(τ)(h(β)) pour tout β dans R¯ et tout τ dans G.¯

(P) La bijectionh⁻¹:R→R¯ se prolonge en un homomorphisme d’anneaux, du sous-anneau de K engendr´e par R (et Z), dans L.

(c) Soient g et h comme ci-dessus ; soientg⁰ un homomorphisme de groupes injectif de G¯ dans G et h⁰ une bijection d’ensembles de R¯ sur R. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) (g⁰, h⁰) v´erifie (C) et h⁰ v´erifie (P) ;

(ii) il existe un ´el´ement σ de G tel que l’on a g⁰(τ) =σg(τ)σ⁻¹ et h⁰(β) = σ(h(β)) pour tout τ dans G¯ et tout β dans R.¯

De plus si (ii) est vérifée alors σ est uniquement déterminé.

En particulier, si le groupe de Galois Gest commutatif alors l’homomorphisme (injectif ) de groupes g : ¯G→G du point (b) est uniquement d´etermin´e.

Démonstration du point (b). On reprend les notations du théorème 5.2. On choisit un homomorphisme d’anneaux ρ : A → L. Soit τ un élément de ¯G, les points (c.1) et (c.2) de 5.2 montrent qu’il existe un unique élément σ de G tel que l’on a τ ◦ ρ = ρ◦σ. On pose g(τ) = σ. Le point (c.1) de 5.2 implique que l’applicationg : ¯G→Gainsi définie est un homomorphisme de

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groupes ; le point (c.3) de 5.2 montre que cet homomorphisme est injectif.

D’après le point (b) de 5.2,ρinduit une bijection de Rsur ¯R; on prend pour h : ¯R→R la bijection inverse. L’égalité τ ◦ρ=ρ◦(g(τ)) pour tout τ dans G¯ implique bien l’égalitéh(τ(β)) =g(τ)(h(β)) pour tout β dans ¯R et toutτ dans ¯G.

D´emonstration du point (c). Cons´equence des points (c.1) et (c.2) de 5.2.

Le fait que le groupe de Galois ¯G = Gal(L/Fp) est cyclique engendré par l’automorphisme de Frobenius de L (Théorème 2.2.4) conduit maintenant à l’énoncé 5.4 ci-dessous, moins précis que l’énoncé 5.3 (la propriété (P) n’est pas prise en compte), mais bien plus concret :

Corollaire 5.4. Soit P un polynôme unitaire non constant de Z[X] de degré n. Soit Q ⊂ K une extension de scindement de P (considéré comme un polynôme de Q[X]) ; soient Gle groupe de Galois de cette extension et R l’ensemble des racines de P dans K.

Soit p un nombre premier. Soit P¯ le polynôme (unitaire non constant, avec même degré que P) de Fp[X] obtenu en réduisant modulo p les coefficients de P.

Soit

P¯ =F₁F₂. . . F_r

la décomposition en facteurs unitaires irréductibles de P¯ dans Fp[X] ; soit n_i le degré de F_i, i= 1,2, . . . , r.

Alors :

(b) Il existe un élément σ de G tel que la partition de R en orbites sous l’action du sous-groupe de G engendré par σ est de la forme

R=R1

aR2

a. . .^aRr

avec R_i de cardinal n_i, i = 1,2, . . . , r. En d’autres termes il existe une bijection ν : R → {1,2, . . . , n} telle que le sous-groupe de S_n correspondant via ν `a G contient la permutation

(1,2, . . . , n₁)(n₁+ 1, n₁+ 2, . . . , n₁ +n₂). . .(nr−1 + 1, nr−2+ 2, . . . , n) produit dans S_n des cycles (1,2, . . . , n₁), (n₁ + 1, n₁+ 2, . . . , n₁ +n₂), . . ., (nr−1+ 1, nr−2+ 2, . . . , n), de longueurs respectivesn₁, n₂, . . ., n_r.

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Expliquons pourquoi le point (b) de 5.3 implique le point (b) de 5.4. On reprend les notations de 5.3. Soit ¯R = ¯R₁^`R¯₂^`. . .^`R¯_r la partition en orbites de ¯R sous l’action de ¯G. Alors, d’après la proposition 3.4.2.9, la décomposition en facteurs unitaires irréductibles de ¯P dans Fp[X] est de la forme ¯P =F₁F₂. . . F_r avec F_i = ^Q_β∈R¯i(X−β), i = 1,2, . . . , r ; on observe que le degré de Fi est égal au cardinal de ¯Ri. Compte tenu du point (b) de 5.3 la partition en orbites de R sous l’action du sous-groupe g( ¯G) de G est R = R₁^`R₂^`. . .^`R_r avec R_i = h( ¯R_i) ; on observe que le cardinal de R_i est encore le degré deFi. Soitφl’automorphisme de Frobenius deL; comme on l’a rappelé plus haut le groupe de Galois ¯G est cyclique engendré par φ.

On obtient le point (b) de 5.4 en prenant σ = g(φ) (et en observant que σ engendre g( ¯G)).

Remarque 5.5. Soit m le p.p.c.m. des entiers n_i de l’énoncé 5.4. On vérifie que m est l’ordre de la permutation de ¯R induite par φ. On en déduit que l’entier m est encore :

- l’ordre deφ dans ¯G; - le cardinal de ¯G ;

- le degr´e de l’extensionFp ⊂L ; - l’ordre deσ dans G.

Remarque 5.6. Le point (c) de l’énoncé 5.3 implique que la classe de conju- gaison dans G de l’élément σ du point (b) de l’énoncé 5.4 est “canonique”.

Exercice 5.7. On propose dans cet exercice une variante conceptuelle de la démonstration du théorème 4.1.4.1 concernant le groupe de Galois des extensions cyclotomiques de Q.

Soient n ≥1 un entier et Q⊂K une extension de scindement du polynôme Xⁿ−1 de Q[X]. On sait déjà d’après la proposition (facile) 4.1.3.2 que l’on dispose d’un homomorphisme de groupes injectif e : Gal(K/Q) →(Z/n)^× ; il s’agit de montrer que e est en fait un isomorphisme.

Soient p un nombre premier qui ne divise pasn et Fp ⊂L une extension de scindement du polynˆome Xⁿ−1 de F^p[X].

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1) Expliquer pourquoi l’on dispose d’un homomorphisme de groupes injectif

“canonique” de Gal(L/Fp) dans Gal(K/Q).

On note g cet homomorphisme.

2) Montrer que le diagramme

Gal(L/Fp) −−−→^g Gal(K/Q)



 y

e



 y

e

(Z/n)^× (Z/n)^× est commutatif.

(Utiliser la propriété P apparaissant dans le point (b) de l’énoncé 5.3.) 3) Montrer que l’image par l’homomorphisme e : Gal(L/Fp) → (Z/n)^× du Frobenius de L est la classe de pmodn. En déduire que l’homomorphisme e : Gal(K/Q)→(Z/n)^× est surjectif.

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D´emonstration de la proposition 5.1

On note n le degré de P et on pose R = {α₁, α₂, . . . , α_r}. Par définition, le polynôme P admet une factorisation dansA[X] de la forme

P = (X−α₁)^v¹(X−α₂)^v². . .(X−α_r)^v^r avec v_i ≥1 pouri= 1,2, . . . r etv₁+v₂+. . . v_r=n.

D´emonstration du point (a) de la proposition 5.1

On se convainc de ce que leZ-module sous-jacent `a Aest libre de dimension finie en constatant qu’il est sans torsion et de type fini (Corollaire 2.2.2 du fascicule

“Modules sur les anneaux principaux”). La première propriété est claire puisque A est un sous-Z-module duQ-espace vectorielK. Pour la seconde on observe que Aest engendré (commeZ-module) par les élémentsα₁ê¹αê₂². . . αê_r^r deAavecei < n pouri= 1,2, . . . r(c’est ici que l’on utilise le fait queP est unitaire et à coefficients dans Z).

Il reste à vérifier l’égalité dim_ZA = dim_QK. Celle-ci résulte de la propriété plus précise suivante : touteZ-base deAest aussi uneQ-base deK. Détaillons un peu.

Il est évident qu’une Z-base de A est une famille libre du Q-espace vectoriel K. Une Z-base de A est une famille génératrice du Q-espace vectoriel K parce que pour tout élément x de K il existe un élément non nul d(x) de Z tel que d(x)x appartient à A.

D´emonstration de l’implication(i)⇒(ii) du point (b) et du point (c) de la proposition 5.1

Soitρ:A→Lun homomorphisme d’anneaux ; comme d’habitude on note encore ρ : A[X] → L[X] l’homomorphisme d’anneaux induit. Par application de cet homomorphisme on obtient la factorisation dansL[X]

ρ(P) = (X−ρ(α₁))^v¹(X−ρ(α₂))^v². . .(X−ρ(α_r))^v^r .

Observons maintenant que l’image par ρ du sous-anneau Z de A est contenue dans le sous-corps Fp de L et que l’homomorphisme induit de Z dans Fp est la r´eduction modulop. Cette observation montre que la factorisation ci-dessus peut ˆ

etre r´e´ecrite de la fa¸con suivante

P¯ = (X−ρ(α1))^v¹(X−ρ(α2))^v². . .(X−ρ(αr))^v^r .

Si l’on suppose que ρ est surjectif alorsL est en outre engendré par lesρ(α_i) (qui ne sont pas forcément deux à deux distincts) puisque A est engendré par les αi : L’extensionFp ⊂Lest bien une extension de scindement du polynôme ¯P deFp[X].

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Le point (c) r´esulte de la factorisation de ¯P qui apparaˆıt ci-dessus.

D´emonstration de l’implication(ii)⇒(i) du point (b) de la proposition 5.1 On pose ¯A=A/pA; ¯Aest une Fp-alg`ebre de dimension finie : dim_F_pA¯= dim_ZA.

Soit m un idéal maximal de ¯A. Il est à noter que l’on peut ici se convaincre de l’existence d’un tel idéal sans invoquer l’axiome du choix ; en effet un idéal de A¯ est en particulier un sous-espace vectoriel du Fp-espace vectoriel sous-jacent à A¯ ce qui montre que la longeur de toute suite strictement croissante d’idéaux de A, distincts de ¯¯ A, est majorée par dim_F_pA. L’anneau quotient ¯¯ A/mest un corps de caractéristiquep et le composé π :A →A/m¯ des homomorphismes d’anneaux canoniques A → A¯ et ¯A → A/m¯ est un homomorphisme d’anneaux surjectif.

D’apr`es ce que l’on vient de voir, l’extension Fp ⊂ A/m¯ est une extension de scindement de ¯P.

Soit maintenant Fp ⊂ L une extension de scindement de ¯P. D’après le point (b) du théorème 1.4.5 (“unicité” de l’extension de scindement d’un polynôme) il existe un (Fp-) isomorphisme de corps θ: ¯A/m→L. Le composé θ◦π est bien un homomorphisme d’anneaux surjectif.

Démonstration du théorème 5.2

Démonstration du point (a) du théorème 5.2

On utilise la proposition 3.4.2.14 : un polynˆome non constant est s´eparable si et seulement si son discriminant est non nul.

Soit C un corps ; soit

P =Xⁿ−a₁Xⁿ⁻¹+a₂Xⁿ⁻²+· · ·+ (−1)ⁿa_n un polynˆome deC[X], unitaire de degr´e n≥1.

On rappelle que le discriminant de P, noté dis(P), est un élément de C et qu’il existe un polynôme “universel” D(−,−,· · · ,−), à coefficients entiers, ennindéter- minées, tel que l’on a :

dis(P) = D(a1, a2, . . . , an) . On suppose maintenant que P appartient `aZ[X].

On prend C=Q. La formule ci-dessus montre que dis(P) appartient en fait `a Z. On prend C=Fp. La formule

dis( ¯P) = D(¯a₁,¯a₂, . . . ,¯a_n) ,

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¯

a₁,a¯₂, . . . ,a¯_n désignant la réduction modulo p des entiers a₁, a₂, . . . , a_n, montre que dis( ¯P) est la réduction modulop de dis(P). L’implication

dis( ¯P)6= 0⇒dis(P)6= 0 en d´ecoule.

Démonstration du point (b) du théorème 5.2

Le point (b) de la proposition 5.1 dit qu’il existe un homomorphisme d’anneaux de A dansL. D’après le point (c) de cette même proposition un tel homomorphisme induit une surjection de R sur ¯R. Si l’on suppose que ¯P est séparable alors les ensembles R et ¯R ont même cardinal, à savoir le degré de P, et cette surjection est une bijection.

Démonstration des points (c.1) et (c.3) du théorème 5.2

Soient ρ un élément de Hom(A, L), σ un élément deG etτ un élément de ¯G ; on note ρ_|R la bijection de R sur ¯R induite par ρ, σ_|R la permutation de R induite parσ etτ_|R¯ la permutation de ¯R induite par τ.

L’égalité ρ◦σ = ρ implique l’égalité ρ_|R◦σ_|R = ρ_|R, il en résulte que σ_|R est l’identité de R et donc queσ est l’identité de K.

Pareillement l’égalité τ ◦ρ=ρ implique l’égalité τ_|R¯◦ρ_|R=ρ_|R, il en résulte que τ_|R¯ est l’identité de ¯R et donc queτ est l’identité de L.

Démonstration du point (c.2) du théorème 5.2 Il s’agit du point le plus délicat du chapitre.

On observe tout d’abord que l’ensemble Hom(A, L) est fini. En effet, il est clair que l’applicationρ7→ρ_|R (la notationρ7→ρ_|Rest introduite ci-dessus) définie sur cet ensemble et à valeurs dans l’ensemble des bijections de R sur ¯R est injective ; on a donc card(Hom(A, L))≤n!, ndésignant le degré de P, la notation card(−) désignant le cardinal d’un ensemble fini. On va montrer que l’on a en fait l’inégalité

card(Hom(A, L))≤card(G) . (1)

Le point (c.2) en résultera. Expliquons pourquoi. Soitρun élément de Hom(A, L), le point (c.1) implique déjà que l’application G → Hom(A, L) , σ 7→ ρ◦σ est injective, l’inégalité (1) impliquera qu’elle est aussi surjective.

On démontre maintenant l’inégalité (1).

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Soit ρ un homomorphisme d’anneaux de A dans L. Comme l’on a ρ(pA) = 0, puisque L est de caractéristiquep, l’homomorphismeρ est le composé de l’homomorphisme d’anneaux canonique A → A¯ (comme précédemment, on pose ¯A = A/pA) et d’un homomorphisme d’anneaux (de Fp-algèbres) de ¯A dans Lque l’on note ˜ρ. On observe que l’applicationρ7→ρ˜est une bijection. On observe également que puisqueρ est surjectif (point (c) de la proposition 5.1) alors il en est de même pour ˜ρ. L’homomorphisme ˜ρ est donc quant à lui le composé de l’homomorphisme d’anneaux canonique ¯A → A/Ker ˜¯ ρ et d’un isomorphisme d’anneaux de ¯A/Ker ˜ρ sur L.

Soient ρ et ρ⁰ deux homomorphismes d’anneaux de A dans L. Ce qui précède montre que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) les noyaux Ker ˜ρ et Ker ˜ρ⁰ co¨ıncident ;

(ii) il existe un ´el´ement τ dans ¯Gtel que l’on aρ⁰ =τ ◦ρ.

Ceci peut se reformuler de la fa¸con suivante. Soient ¯G\Hom(A, L) l’ensemble quotient de l’action à gauche du groupe ¯G sur l’ensemble Hom(A, L) (c’est-à- dire le quotient par la relation d’équivalence sur Hom(A, L) dont le graphe est formé des couples vérifiant (ii)) et M l’ensemble des idéaux maximaux de ¯A , alors l’application ¯G\Hom(A, L) →M, que l’on note k, induite par l’application Hom(A, L)→M , ρ7→Ker ˜ρ est injective.

L’application k est aussi surjective : Soit m un idéal maximal de ¯A, on a vu lors de la démonstration de l’implication (ii)⇒ (i) du point (b) de la proposition 5.1 qu’il existe un isomorphisme de corps de ¯A/m sur L, le noyau du composé de l’homomorphisme canonique ¯A→A/m¯ et de cet isomorphisme est bienm.

En conclusion, l’application

k: ¯G\Hom(A, L)→M est une bijection.

Il en résulte que l’ensemble M est fini (ce qui était évident a priori puisque l’ensemble sous-jacent à ¯A est fini) et, compte tenu du fait que l’action de ¯G sur Hom(A, L) est libre (point (c.3) du théorème 5.2), que l’on a l’égalité

card(Hom(A, L)) = card(M)×card( ¯G) . (2)

L’inégalité (1) découle de l’égalité (2) et de l’inégalité card(M)×card( ¯G)≤card(G) . (3)

Celle-ci est un avatar de l’in´egalit´e

card(M)×dim_F_p(L)≤dim_F_p( ¯A) . (4)

(11)

En effet, on a :

- dim_F_pL= card( ¯G) d’apr`es la proposition 3.4.2.6 ; - dim_F_pA¯= dim_ZA;

- dim_ZA= dim_QK d’apr`es le point (c) de la proposition (5.1) ; - dim_QK = card(G) toujours d’apr`es la proposition 3.4.2.6.

Il reste à vérifier l’inégalité (4). Celle-ci est conséquence du lemme suivant : Lemme 5.8. SoitΛun anneau ; soient m₁,m₂, . . . ,m_r des idéaux maximaux deΛ deux à deux distincts (en nombre fini r ≥1). Alors l’homomorphisme d’anneaux canonique

Λ→

r

Y

i=1

Λ/m_i est surjectif.

Expliquons comment le lemme 5.8 implique l’inégalité (4). D’après ce lemme l’homomorphisme d’anneaux canonique

A¯→ ^Y

m∈M

A/m¯

est surjectif. Comme cet homomorphisme est en particulier un homomorphisme de Fp-espaces vectoriels on obtient l’in´egalit´e

dim_F_p ^Y

m∈M

A/m¯ ≤dim_F_pA¯

qui implique bien l’inégalité (4) puisque chaque ¯A/mest isomorphe à L (en tant qu’extension de Fp et donc en tant que Fp-espace vectoriel).

D´emonstration du lemme 5.8

Le cas r= 1 est trivial ; on supposera doncr≥2.

Soient ietj dans{1,2, . . . , r} avec i6=j. L’idéalm_i+m_j (constitué des éléments de la forme x+y avec x ∈ m_i et y ∈ m_j) est égal à Λ ; en effet m_i +m_j 6= Λ entraˆınerait m_i+m_j =m_i,m_i+m_j =m_j, etm_i=m_j. Il existe donc des éléments u_ij de Λ tels que l’on a u_ij ∈ m_i et u_ij +u_ji = 1. On pose e_i = ^Q_j6=iu_ji ; on vérifie que l’on a les congruencesei≡1 (modm_i) et ei ≡0 (mod m_j) pourj 6=i.

Ces éléments e_i de Λ permettent d’exhiber un antécédent pour tout élément de

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Q_r

i=1Λ/m_i : Soient ξ_i, i= 1,2, . . . , r, un élément de Λ/m_i et x_i un représentant de ξi dans Λ, on a tout fait pour que l’image par l’homomorphisme canonique du lemme 5.8 de l’élément ^P^r_i=1xiei de Λ soit (ξ1, ξ2, . . . , ξr).

Remarque 5.9. La démonstration que l’on a donnée du point (c.2) du théorème 5.2 montre que l’on a en fait dim_F_p^Q_m∈MA/m¯ = dim_F_pA¯ ; il en résulte que l’homomorphisme d’anneaux canonique

A¯→ ^Y

m∈M

A/m¯

est un isomorphisme.