H 160. A la chaîne et en boucle. ***
On considère la liste (L) des cinquante premiers nombres premiers 2, 3, 5, …, 227, 229.
Q1 Prouver qu’on sait trouver dix nombres premiers distincts p1, p2, .., p10 choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2pi et du suivant pi+1 est un carré parfait m2i pour i = 1, 2, .., 9 (i.e 2pi + pi+1 = m2i)
Pour les plus courageux : déterminer la plus longue suite de k nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que 2pi + pi+1 = m2i pour i = 1, 2, …, k – 1.
Q2 Prouver qu’on sait trouver huit nombres premiers distincts q1, q2, .., q8 choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2qi et du suivant qi+1 est un carré parfait ni2 pour i = 1, 2, .., 8 (i.e 2pi + pi+1 = n2i et par convention, p9 = p1)
Pour les plus courageux : déterminer le plus grand nombre possible k de nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que 2pi + pi+1 = n2i pour i
= 1, 2, …, k avec par convention pk+1 = p1. Solution proposée par Michel Lafond.
J’ai fait un programme (MAPLE) qui liste successivement toutes les listes de 2, puis de 3, puis de 4 … nombres premiers distincts compris entre 2 et 229 qui vérifient la condition C de l’énoncé.
Je trouve
Longueur de la liste nombre de listes
2 93
3 173
4 305
5 526
6 816
7 1074
8 1178
9 1025
10 759
11 419
12 202
13 72
14 14
15 0
Q1.
2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59 est une liste convenable de 10 nombres qui vérifie la condition C.
D’après mon programme, la liste comporte au plus 14 nombres.
La liste 13, 199, 2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59, 107, 227 qui prolonge la précédente en est une.
Q2. Il est facile de rajouter au programme un test sur la circularité.
Je trouve un effectif maximal de 8 nombres avec par exemple la liste circulaire 3, 19, 43, 139, 83, 59, 107, 11.
Il n’y a à une permutation circulaire près et au sens horaire près que deux listes répondant à la question : [3, 19, 43, 139, 83, 59, 107, 11] et [3, 19, 131, 179, 83, 59, 107, 11]
