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Chap. n°3 : Nombres premiers Objectifs :
Niveau a eca n
C3.a 1 Savoir décomposer un nombre en facteurs premiers.
C3.b 1 Savoir détecter si un nombre est premier.
C3.c 1 Savoir déterminer tous les diviseurs d'un nombre et le
nombre de diviseurs de ce nombre.
Activité d'approche n°1 : Crible d'Eratosthène Définition
On dit qu'un nombre p est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
1. Zéro est-il un nombre premier ?
...
2. Un est-il premier ?
...
3. Rayer les multiples de 2, puis les multiples de 3, etc.
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21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
4. À partir de quand aurait-on pu s'arrêter ?
...
5. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à 150.
...
...
6. Y a-t-il des nombres premiers impairs consécutifs ?
...
7.
a. Dans le tableau ci-dessus, quelle est la plus grande séquence sans nombre premier ?
...
b. 24=1×2×3×4. Expliquer pourquoi, en ce cas, 24+2, 24+3, et 24+4 ne sont pas premiers.
...
...
...
...
...
...
c. De manière général, notons n! = 1×2×3×4×...×n. Montrer que tous les nombres entiers compris entre n!+2 et n! + n ne sont pas premiers.
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°3 : les nombres premiers
I) Nombres premiers
Définition n°1
Un nombre entier naturel p est premier s'il a exactement
…... , …... et
…...
Par opposition, on dit qu'un nombre qui n'est pas premier est composé.
Remarques
0 …... car
…...
1 …... car
…...
Les nombres premiers inférieurs à 50 sont :
…...
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Propriété n°1
Soit n un nombre entier strictement supérieur à 1. Alors le plus petit diviseur de n est …...
Démonstration :
Par l'absurde :
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°1
Décomposer le nombre 50 en facteurs premiers :
...
...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs :
C3.a_Niv1 :Savoir décomposer un nombre en facteurs premiers.
Exercice n°1 Ex.25 p.27 Exercice n°2
Ex.28 p.27 Exercice n°3**
Ex.86 p.30 Exercice n°4**
Ex.87 p.30
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Cours n°2
Propriété n°2
Tout nombre composé n admet un diviseur premier au plus égal à
√
n.Démonstration
On utilise la propriété précédente : comme n est composé, il existe un plus petit diviseur premier d de n, distinct de n.
...
... ...
...
...
... ...
...
Conséquence :
Si un nombre n ne possède pas de diviseur autre que 1 entre 1 et
√
n, alors,…...
Exemple n°2
97 est-il un nombre premier ? Justifier.
...
...
...
...
Propriété n°3
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration :
Par l'absurde et en utilisant la propriété n°2 :
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
.. ...
Interrogation n°2 Objectifs :
C3.b_Niv1 :Savoir détecter si un nombre est premier.
Exercice n°5 Ex.32 p.27 Exercice n°6
Ex.81 p.29 Exercice n°7
Ex.82 p.29
Cours n°3
II) Décomposition en facteurs premiers
Propriété n°4 (Existence d'une décomposition)
Soit n
un nombre entier naturel. Alors il existe un nombre fini de nombres premiers p1, p2, p3,...,pk distincts tels que n = ... où1, 2, 3, … k sont des entiers non nuls.
Démonstration :
Par l'absurde :
...
Supposons que la propriété ne soit pas vraie pour tous les entiers, et soit n le premier entier qui ne soit ni premier, ni décomposable en produit de nombres premiers .
...
...
...
...
...
Exemple n°3:
Décomposer 140 en facteurs premiers.
...
...
...
...
...
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Propriété n°5 (Unicité d'une décomposition) - admise
Soit n
un nombre entier naturel. Alors la décomposition de n en facteur premiers p11× p22 ×p33× …. …. × pkkoù 1, 2, 3, … k sont des entiers non nuls, et où les pi, 1ik sont des nombres premiers tous distincts, est…...
Propriété n°6 (diviseurs)
Soit n un nombre entier naturel et p11× p22 ×p33× …. …. × pmm sa décomposition en facteurs premiers. Alors tout produit partiel pi1i1× pi2i2×pi3i3× …. …. × pikik de cette décomposition (les ij étant tous inférieurs ou égaux aux ij
) ...
...
Exemple n°4
En utilisant la décomposition en facteurs premiers, donner tous les diviseurs de 140.
...
...
...
...
...
...
Propriété n°7 (Nombre de diviseurs)
Soit n un nombre entier naturel et p11× p22 ×p33× …. …. × pmm sa décomposition en facteurs premiers. Alors le nombre de diviseurs de n est
…...
Exemple n°5
Soit a un nombre entier tel que a=25×3n. Donner le nombre de diviseurs de a.
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°3 Objectifs :
C3.c :Savoir déterminer tous les diviseurs d'un nombre et le nombre de diviseurs de ce nombre.
Exercice n°8 Ex.30 p.27 6/9
Exercice n°9 Ex.99 p.30 Exercice n°10*
Ex.101 p.31 Exercice n°11**
Sujet E p.38 Exercice n°12***
On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par u0 = 1 et, pour tout entier n supérieur à 0, un+1 = 10 × un + 21.
1. Calculer u1, u2 et u3.
2.a. Démontrer, pour tout entier naturel n, 3un = 10n+1 – 7.
b. En déduire l'écriture décimale de un. 3. Montrer que u2 est un nombre premier.
4. Montrer que, pour tout entier naturel n, un n'est ni divisible par 2, ni divisible par 3, ni divisible par 5.
5.a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4 –(–1)n [11]
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n'est pas divisible par 11.
6.a. Donner le reste de la division division euclidienne de 104 par 17. En déduire que 1016 ≡ 1 [17].
b. En déduire que, pour tout entier naturel k, 3u16k+8 est divisible par 17, puis, par l'absurde, que u16k+8 est divisible par 17.
Exercice n°13**
Pour tout entier naturel n, on considère le nombre N = n4 + 4. On se demande s'il existe des valeurs de n pour lesquels N est premier.
1. En remarquant que n4 + 4 = n4 + 4n2+ 4 – 4n2, factoriser n4 + 4.
2. En déduire que N est premier si et seulement si n=1.
Indices et résultats
Exercice n°1 (Ex.25 p.27) : 113 et 227 sont premiers. Les autres ne le sont pas.
Exercice n°2 (Ex.28 p.27) : 45 = 32×5 ; 1400 = 23×52×7 ; 735 = 3 × 5 × 72.
Exercice n°3** (Ex.86 p.30) : 1. différencier n=2 et n≠2. Si n est premier, n n'est pas pair. 2.
Non. 3. Non.
Exercice n°4** (Ex.87 p.30) : 2. Les nombres premiers sont de la forme 6q+1 ou 6q+5. 3.
Distinguer le cas 6q+1 et le cas 6q+5.
Exercice n°5 (Ex.32 p.27) : a : 24 ; b : 8.
Exercice n°6 (Ex.81 p.29) : Diviser 1789 par chaque entier de la liste.
Exercice n°7 (Ex.82 p.29) : 1. Factoriser f. 2. Penser aux entiers négatifs.
Exercice n°8 (Ex.30 p.27) :
Object 5
et 130 17 Exercice n°9 (Ex.99 p.30) : 3696.
Exercice n°10* (Ex.101 p.31) : p14 ou p2×q4, p et q étant premiers.
Exercice n°11** (Sujet E p.38) : A.2. 17×37 B.1. (1;5;5),(5;1;5),(-1;-5;5),(-5;-1;5) B.2. n4+4. B.3.
Montrer que les deux facteurs sont strictement plus grands que 1.
Exercice n°12***
1. u0=1, u1=31, u2=331, u3=3331. 2.b. 333....31 (le nombre de 3 est n). 6.a. 14.
Exercice n°13**
1. n4 + 4 =(n²+2-2n)(n²+2+2n).
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