H160. A la chaîne et en boucle ***
On considère la liste (L) des cinquante premiers nombres premiers 2, 3, 5,..., 227, 229.
Q1 Prouver qu’on sait trouver dix nombres premiers distinctsp1,p2,..,p10choisis dans (L) et pla- cés sur une même rangée tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2piet du suivant pi+1est un carré parfaitm21pouri=1, 2, .., 9 (i.e 2pi+pi+1=m2i)
Pour les plus courageux : déterminer la plus longue suite dek nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que 2pi+pi+1=m2i pouri=1, 2, ...,k−1.
Q2 Prouver qu’on sait trouver huit nombres premiers distinctsq1,q2,..,q8choisis dans (L) et pla- cés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que la somme du double de l’un quel- conque d’entre eux 2qi et du suivantqi+1est un carré parfaitn2i pouri=1, 2, .., 8 (i.e 2pi+pi+1=n2i et par convention,p9=p1).
Pour les plus courageux : déterminer le plus grand nombre possiblekde nombres premiers distincts choi- sis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que 2pi+pi+1=ni2 pour=1, 2, ...,kavec par conventionpk+1=p1.
Solution de Claude Felloneau
Q1 La liste des dix nombres premiers (2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59) vérifie la condition imposée.
En réalité, on a l’embarras du choix. Un programme informatique me donne 759 listes de dix nombres premiers qui vérifient la condition.
La longueur maximale d’une suite d’entiers premiers vérifiant cette condition est 14.
Il y a 14 telles listes :
(13, 199, 2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59, 107, 227) (13, 199, 2, 5, 71, 83, 59, 107, 11, 3, 19, 43, 139, 163) (37, 7, 2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59, 107, 227) (37, 7, 2, 5, 71, 83, 59, 107, 11, 3, 19, 43, 139, 163) (37, 7, 211, 19, 131, 179, 83, 3, 43, 139, 11, 59, 107, 227) (37, 7, 211, 19, 131, 179, 83, 59, 107, 11, 3, 43, 139, 163) (97, 31, 2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59, 107, 227) (97, 31, 2, 5, 71, 83, 59, 107, 11, 3, 19, 43, 139, 163) (109, 7, 2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59, 107, 227) (109, 7, 2, 5, 71, 83, 59, 107, 11, 3, 19, 43, 139, 163) (109, 7, 211, 19, 131, 179, 83, 3, 43, 139, 11, 59, 107, 227) (109, 7, 211, 19, 131, 179, 83, 59, 107, 11, 3, 43, 139, 163) (157, 127, 2, 5, 71, 83, 3, 19, 43, 139, 11, 59, 107, 227) (157, 127, 2, 5, 71, 83, 59, 107, 11, 3, 19, 43, 139, 163)
Q2 La liste des huit nombres premiers (3, 19, 43, 139, 83, 59, 107, 11) vérifie la condition imposée.
Le plus grand nombre possible d’entiers premiers vérifiant cette condition est 8.
Il y a 16 tels cycles :
(3, 19, 43, 139, 83, 59, 107, 11) (3, 19, 131, 179, 83, 59, 107, 11) (11, 3, 19, 43, 139, 83, 59, 107) (11, 3, 19, 131, 179, 83, 59, 107) (19, 43, 139, 83, 59, 107, 11, 3) (19, 131, 179, 83, 59, 107, 11, 3) (43, 139, 83, 59, 107, 11, 3, 19) (59, 107, 11, 3, 19, 43, 139, 83) (59, 107, 11, 3, 19, 131, 179, 83) (83, 59, 107, 11, 3, 19, 43, 139) (83, 59, 107, 11, 3, 19, 131, 179) (107, 11, 3, 19, 43, 139, 83, 59) (107, 11, 3, 19, 131, 179, 83, 59) (131, 179, 83, 59, 107, 11, 3, 19) (139, 83, 59, 107, 11, 3, 19, 43) (179, 83, 59, 107, 11, 3, 19, 131)
page 1 / 1
