Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
12/03/2012
DOSSIER Alg 5
Thème : nombres premiers
L’exercice
Soit un nombre entier strictement supérieur à 3.
1) a) Conjecturer une condition nécessaire sur modulo 6 pour que soit un nombre premier.
b) Démontrer la conjecture précédente.
c) En déduire l’ensemble des entiers naturels tels que , 7 2 et 7 2 sont des nombres premiers.
d) Démontrer que si et 11 4 sont des nombres premiers alors 11 4 est un nombre composé.
4) L’affirmation « si est un nombre premier supérieur ou égal à 3 alors ² 1 est divisible par 8 » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
La réponse d’un élève à la question 4.
Il me semble que l’affirmation est vraie.
Par exemple : 17² 1 288 8 36 ; 23² 1 528 8 66.
Pour démontrer, j’utilise lerésultat établi précédemment : si p est un nombre premier strictement supérieur à 3 alors 1 6 ou 5 6.
Dans chacun des cas on obtient 1 6 soit 1 0 6 1 est donc un multiple de 6, je ne vois pas comment il faut continuer…
Le travail à exposer devant le jury
1. Dégager les savoirs et les outils nécessaires à la résolution de l’exercice. Préciser notamment le type de raisonnement qu’il est possible de mettre en œuvre pour traiter chacune des questions.
2. Analysez la production de l’élève ; en particulier , que dire de sa démarche ?
3. En vous appuyant sur la démarche de l’élève, proposer une correction de la question 4) telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale S.
4. Produire un algorithme permettant de déterminer si un nombre est premier. Programmer cet algorithme en utilisant le logiciel de votre choix.
5. Présentez deux ou trois exercices sur le thème « Nombres premiers ».
