Liste 5

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 5

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

¹ 2007/2008 Exercice 1:

I) 1) on pose z'=1+ieⁱ^ et z''= -1+ieⁱ^; écrire z' et z'' sous forme exponentielle et montrer que ^z'' ^itg( ⁾

z' 2 4

   .

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

( , , )O i j ; on considère les points M' et M'' d'affixes respectives z' et z''.

déterminer  pour que le triangle OM'M'' soit rectangle en O.

II) 1) le plan P est munie d'un repère orthonormé ( , , )O i j , on désigne par M₁ et M₂ les points d'affixes respectives z₁ 1 eⁱ^ et z₂ i( 1 e ⁱ^ ). Déterminer et construire l'ensemble des points M₁ et M₂ lorsque  décrit ]0, [.

2) a) montrer que OM₁M₂ est un triangle rectangle et isocèle en O.

b) soit B le point d'affixe 2i. Déterminer le réel  pour que OM₁BM₂ soit un carré.

Exercice 2:

1) on note M' et M'' les points d'affixes respectives 1+ieⁱ^et 1-ieⁱ^ avec  ] ,³ [

2 2

  .

a) déterminer et construire les ensembles décrits par M' et M'' lorsque

 varie dans ] ,³ [ 2 2

  .

b) Montrer que pour  ] ,³ [ 2 2

  , le triangle OM'M'' est rectangle en O.

c) Déterminer  pour que le triangle OM'M'' soit isocèle.

2) dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé ( , , )O i j , on considère les points A(-1) et B(1). On désigne par  le cercle de centre O et de rayon 1.

Soit f l'application de P\{B} dans P qui à tout point M(z) associe le point M'(z') telle que z'=^z ¹

z 1



 .

a)montrer que z' imaginaire pur si et seulement si |z|=1.

b) explicité z' lorsque z=eⁱ^.

c) montrer que ( i,BM ) ( i,BM ' ) 0[ 2 ]

d) en déduire que [BA) est une bissectrice de l'angle ( BM ,BM ' ) e) en déduire la construction du point M' image d'un point M donné de  \{B}

(2)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 5

^{M : Zribi}

² 2007/2008 Exercice 3:

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O i j . on considère les points A et B d'affixes respectives i et ^{1 i}

2

 . Soit f

l'application de P dans P qui à tout point M d'affixe a associe le point M' d'affixe z'=(1-i)z-1.

1) a) vérifier que f admet un seul point invariant que l'on précisera.

b) on pose z= ¹ eⁱ ; ] , [ 2 2

    . Déterminer la forme exponentielle de z'.

2) a) on suppose que M  B; montrer que arg z' ( i,BM )[ 2 ] 4

 

   .

b) en déduire l'ensemble E={M(z); z' IR*-}.

3) on suppose que MA.

a) montrer que le triangle AMM' est rectangle et isocèle.

b) on se donne un point M d'affixe z (zi)

déduire une construction géométrique de chacun des points :

 M' tel que z'= (1-i)z-1.

 M'' d'affixe z''=(1+i)z-1 Exercice 4:

le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère le point A d'affixe z=i-ieⁱ^; ou ]0, [.

1) déterminer l'ensemble des point A lorsque  décrit ]0, [.

2) Soient B et C les points d'affixes z₁ z et z₂ ^z²

  z . a) écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.

b) Vérifier que A et B sont distincts.

c) Montrer que AC=AB.

d) Déterminer en fonction de  une mesure de l'angle ( AB, AC ). e) Déterminer  pour que le triangle ABC soit équilatéral.

Exercice 5:

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j ; soit l'application :

f : P P

1 1

M ( z ) M '( z') / z' ( i )z ( 1 i )

2 2



   

(3)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 5

^{M : Zribi}

³ 2007/2008 1) Soit [ ,2 ] et z=e ⁱ^.

a)montrer que z' 2 2 cos eⁱ⁽⁴ ²⁾ 2

  ^

 .

a) Ecrire suivant les valeurs de  , z' sous la forme trigonométrique.

2) soit A(2i).

a) montrer que pour tout M A on a:

AM ' 1 AM et ( AM , AM ' ) [ 2 ] 2 4

 

  .

b) Montrer que ^{z' 2i} z' z



 est imaginaire pur; en déduire la nature du triangle AMM'.

c) Le point M étant donné, donner une construction géométrique du point M'=f(M).

Exercice 6:

Pour tout réel  ]- , ] on considère la fonction f définie par:

Pour tout z \{eⁱ^};

i i

f ( z ) 1 ze

e z



 

 

 1) vérifier que si { , }

2 2

 

 alors f est une fonction constante.

2) On suppose que  =0.

a) montrer que f0 est une bijection de \{1} dans \{-1}

et que f^-10(z)= -f0(-z).

b) montrer que pour tout réel  IR\{2k  , kZ} on a:

i

f ( e0 ) i cot( ) 2

 _ 

c) déterminer les racines carrés de ²( 1 i )

2 

3) on suppose que ^{ ^, ^}

2 2

 

  , le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . on désigne par A, B, C,M et M' les points d'affixes respectives eⁱ^; -eⁱ^; -e^-i^; z et z'=f(z).

a) montrer que z est imaginaire pur si et seulement si |z'|=1 et z'-eⁱ^. b) montrer que si MA et MC alors

( i,OM ' )    ( AM ,CM )[ 2 ] c) pour 

4

  , déterminer et construire l'ensemble  décrit par le

point M lorsque M' décrit la demi droite d'équation ^y ^x x 0

  

 

(4)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 5

^{M : Zribi}

⁴ 2007/2008