OM' donc z

(1)

COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE

I ) MODULE ET ARGUMENT D'UN COMPLEXE NON NUL Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; u ,v

Définition

Soit z un complexe non nul d’image M (x ; y ).

On appelle - module de z le réel positif r = |z| = OM =



^x²^^y²

- argument de z tout réel  = mes ( u ; OM ) Rq : - ( r ;  ) sont les coordonnées polaires de M dans le repère (O; u ) .

- un complexe a une infinité d’arguments égaux à 2 prés.

- |0| = 0 mais 0 n’a pas d’argument.

Exemples : 4 ; - 3 ; - 3 i ; 3 i

Propriété :

Pour tout complexe z, z . z = ∣z∣² Démo

Propriété :

Pour tout complexe z non nul cos() = x

r et sin() = y

r et donc z = r ( cos ( ) + i sin ( )) Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.

exemple : 2 + 2 i ex : 1 - 2

Propriété :

Soit z et z’ deux complexes non nuls de modules r et r’ et d’arguments  et ’ alors : z = z’ ⇔ r = r’ et  = '

|z z'| = |z| |z'| et arg(z.z’) ≡ arg(z) + arg(z’) [2]

∣

z '¹

∣

⁼∣z '∣¹ et arg( 1

z ' ) ≡ - arg(z) [2]

∣

z '^z

∣

⁼∣^∣zz '^∣∣ et arg( z

z ' ) ≡ arg(z) - arg(z’) [2]

Démo : zz’ = r ( cos ( ) + i sin ( )) r’ ( cos (’ ) + i sin ( ‘)) = ...

1

z = 1

rcos i×sin = ... z

z ' = z . 1

z ' ...

Propriété :

| z | = ∣– z∣ = ∣z∣ et arg ( z ) ≡ - arg(z) [2] arg(- z ) ≡ arg(z) +  [2]

Propriété : ( inégalité triangulaire) ∣zz '∣∣z∣∣z '∣

Démo : Soient M ( z) et M’ ( z’ ) et S tel que OMSM’ soit un parallélogramme alors

OS=OMOM ' donc z_S = z_M + z_M’ et OS  OM + OM’ d’où l’inégalité.

(2)

Propriété :

Si A et B ont pour affixes z_A et z_B alors |zB – zA | = AB et arg( z_B- z_A) = ( u ; AB ) Ex : 3 – 4 – 5 – 6 - 7 feuille

II ) NOTATION EXPONENTIELLE

On s'aperçoit que l’argument se comporte comme une puissance donc par convention on pose cos  + i sin  = eⁱ^

Propriété :

tout complexe non nul z de module r et d’argument  admet une écriture de la forme z = r e^i. Cette forme s’appelle la forme exponentielle de z.

Forme exp à connaître 1 ; i ; -i ; - 1 Propriété :

eⁱ^×e^i'=e^{i '} 1

e^i=e^{– i} eⁱ^

eî^'=eⁱ^^–^'^ eîⁿ=eî∗n^ (cos + i sin )ⁿ = cos n + i sin n (formule de Moivre) cos() = eîe^{– i}

2 et sin () = eⁱ^– e^{– i}

2 i ( formules d’Euler) Ex 8 – 9 - 10

III ) COMPLEXES ET GEOMETRIE

Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts d’affixes z_A , z_B et z_M. | z_B- z_A| = AB arg( z_B- z_A) = ( u ; AB )

∣

z^z_M^M^{– z}– z^B_A

∣

⁼ AM^BM arg( z_M– z_B

z_M– z_A ) = ( AM ;BM ) = ( MA ;MB )

Démo : Soit S tel que OS=AB alors

∣

^zB– z_A

∣

= OS = AB et arg( z_B– z_A ) = arg(z_S) = ( u ;OS ) = ( u ;AB )

∣

z^z_M^M^{– z}– z^B_A

∣

⁼

^∣ ∣

^zz^M_M^{– z}– z^B_A

^∣ ∣

⁼

BM AM arg( z_M– z_B

z_M– z_A ) = arg ( zM– z_B ) - arg ( zM– z_A ) = ( u ;BM ) - ( u ;AM ) = AM ;BM Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts;

A, B et M sont alignés ⇔ arg( z_M– z_B

zM– zA ) ≡ 0 [] (AM) ⊥ (BM) ⇔ arg( z_M– z_B zM– zA ) ≡

2 []

Ex 11 -12 + 101 p 254 a et d

(3)

Dans tous les exercices le plan est muni d’un repère orthonormé direct O; u ,v

EX 1 :

Déterminer un argument des complexes suivants : 1

2–



3

2 i ; -1+i



3 ; 7



2 – 7



2 i EX 2 :

Ecrire sous forme trigonométrique les complexes suivants :

2 + 2 i ; 2 i ; -7 ; 2 –



^6^(cos ^₈ ^{+i sin} ^₈ ⁾

EX 3 :

Soient A , B , C les points d’affixes respectives 45

2i ; 4 –5

2i ; 23 2i Montrer que ABC est rectangle EX 4 :

Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que a) |z+4-2i| = 2

b)

∣

z1i^{z – 2 i}

∣

^{= 1}

EX 5 : Calculer (2 + 2 i )¹³ ;

 ^

i – 1^{3 – i}



¹²

EX 6 : Soient les complexes z1 =



6 –



2 i

2 z2 = 2 - 2i et Z = z₁ z2

1) Donner la forme trigonométrique de ces 3 complexes.

2) Donner la forme algébrique de Z . 3) En déduire cos



¹²^



^{et sin}



¹²^



EX 7 :

Soit z = (-



^{6 -}



2 ) + i (-



^{2 +}



^{6 )}

1) Calculer z² sous forme algébrique puis trigonométrique

2) En déduire le module et un argument de z .

EX 8 :

Ecrire sous forme exponentielle : 2 + 2 i ; 1 - i



3 ;





^{3 – i}²^;^1



^{3 i}^⁶^{; cos} ^₅ ^{- i sin} ^₅

E X 9 :

En utilisant la formule de Moivre montrer que : cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)

sin(3x) = - 4 sin³(x) + 3 sin(x) EX 10 :

En utilisant les formules d’Euler montrer que : cos³x = 3

4 cos(x) + 1

4 cos(3x) sin³x = 3

4 sin(x) - 1

4 sin(3x) EX 11:

1)

a) Soient les points A et B d'affixes respectives 2 + 2 i et 2 – 2



3 i , calculer ( OA , OB )

b) Même question avec

A(2+3i) et B ( (2−3

√

^3)+i(3+²

√

³⁾

2) Soient les points A , B , C d’affixes respectives 3 + i ; 2 i et 2 - 2 i

Calculer z_C– z_A

z_B– z_A puis en déduire la nature du triangle ABC

EX 12 :

On donne les points A ( -2 ) B ( i ) M ( z ) et pour z ≠ i M’ ( z’ ) tel que z' = z2

z – i

Déterminer sans calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ l’ensemble des points M du plan tel que :

1) M’ soit un point du cercle de centre O et de rayon 1.

2) z’ soit un réel.

3) z’ soit un imaginaire pur.