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Nombres complexes
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, u , v
).
Forme algébrique
Tout nombre complexe peut s’écrire de manière unique sous la forme z = a + bi avec (a, b) ∈2, et i tel que i2 = −1.
L’ensemble des nombres complexe est noté . a est la partie réelle de z. Re(z) =
2
1(z + z).
b est la partie imaginaire de z. Im(z) = i 2
1 (z − z).
z = a − bi est le conjugué de z.
Représentation graphique M(a,b) est l’image de z z = a + bi est l’affixe de M L’affixe du vecteur AB est
zAB = zB− zA
Module et argument
|z| = a2 +b2 , représente la distance r = OM arg(z) est une mesure en radians de l’angle (u
, OM ) La distance AB est AB = |zB− zA|
(u
, AB) ≡ arg(zB− zA) [2π]
Forme trigonométrique z = r(cosθ+ isinθ), r = |z| ∈*+, θ≡ arg(z) ∈
Forme exponentielle z = reiθ r = |z| ∈*+, θ≡ arg(z) ∈
Réels, imaginaires purs
z est réel ⇔ Im(z) = 0 ⇔ arg(z) ≡ 0 [π] z est un réel positif ⇔ Im(z) = 0 et Re(z) ≥ 0 ⇔ arg(z) ≡ 0 [2π] z est un réel négatif ⇔ Im(z) = 0 et Re(z) ≤ 0 ⇔ arg(z) ≡π [2π]
z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ arg(z) ≡ 2 π [π]
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Configurations
Affixe du milieu M de [AB] zM =
2
B
A z
z +
A, B et C sont alignés ⇔
A B
A C
z z
z z
−
−
∈
C, A et B sont alignés dans cet ordre ⇔
A B
A C
z z
z z
−
−
∈−
ABC est un triangle rectangle en A ⇔
A B
A C
z z
z z
−
− est imaginaire pur
ABC est un triangle direct rectangle en A ⇔
A B
A C
z z
z z
−
− est de la forme ki, k ∈*+
ABC est un triangle isocèle en A ⇔ |zB− zA| = |zC− zA|
ABC est un triangle rectangle isocèle direct en A ⇔
A B
A C
z z
z z
−
− = i
ABC est un triangle équilatéral direct ⇔
A B
A C
z z
z z
−
− = 3
π
ei
Transformations Fonction complexe :
' z
z
→
Transformation du plan :
) ' ( ' )
(
P P
z M z
M
→
z’ = z + (a + bi) translation de vecteur a u + b v z’ = −z symétrie de centre O
z’ = z réflexion de droite (x’x) z’ = −z réflexion de droite (y’y)
z’ = kz, k ∈* homothétie de centre O et de rapport k
z’ = iz quart de tour direct
z’ = eiθz rotation de centre O et d’angle θ z’ − zΩ = eiθ(z − zΩ) rotation de centre Ω et d’angle θ
z’ = keiθz, k ∈*+ similitude directe de centre O, de rapport k et d’angle θ z’ − zΩ = keiθ(z − zΩ), k ∈*+ similitude directe de centre Ω, de rapport k et d’angle θ z’ = az + b, a ∈*, b ∈ similitude directe de rapport |a| et d’angle arg(a) z’ = a z + b, a ∈*, b ∈ similitude indirecte de rapport |a|.
