Produit scalaire
2021-22
1 Norme d’un vecteur
Définition.
Soit #»u un vecteur et A,Bdeux points tels que #»u =AB# ». On appelle norme du vecteur #»u la longueurAB. k#»uk =AB
Propriété (rappels de seconde).
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
• Soient A¡ xA ; yA
¢etB¡ xB ; yB
¢deux points du plan. On a AB=q
(xB−xA)2+¡ yB−yA
¢2
.
• Si #»u=# »
AB alors le couple des coordonnées de #»u est ¡xB−xA ; yB−yA
¢.
• si #»u a pour coordonnées ¡x#»u ; y#»u
¢, on ak#»uk =qx2#»
u+y2#»u.
Exercice 1 – Donner la norme des deux vecteurs représentés ci-dessous dans un repère orthonormé.
Résolution.
Le vecteur #»u a pour coordonnées (1; 2). On a donc°°#»u°°=qx2#»
u+y2#»u, soit°°#»u°°=p12+22 ou °°#»u°°=p5. Le vecteur#»v a pour coordonnées(3;−2). On a donc°°#»v°°=qx2
#»v+y2#»v, soit°°#»v°°=p32+(−2)2ou °°#»v°°=p13.□
Exercice 2 – Dans le plan muni d’un repère orthonormé, soientA (1 ; −2),B (−3 ; 2)etC (1 ; 1). 1. Calculer la norme du vecteur # »
AB. 2. Soit #»u =# »
CA. Calculer la norme de #»u. 3. Le triangle ABC est-il rectangle ? Résolution.
1. °°°AB# »°°°=q
(xB−xA)2+(yB−yA)2, soit°°°AB# »°°°=p
(−3−1)2+(2−(−2))2. On a donc°°°AB# »°°°=p
16+16=p
2×16= p16×p
2, soit °°°# » AB°°°=4p
2. 2. °°#»u°°=°°°CA# »°°°=q
(xC−xA)2+(yC−yA)2=p
02+32, soit CA=3. 3. On aAB=4p
2etAC=3. On calcule la longueur CB de la même façon :CB=q
(xB−xC)2+(yB−yC)2= p42+(−1)2, d’oùCB=p
17.
On cherche ensuite à appliquer le théorème de Pythagore. On remarque déjà que le plus long des trois côtés est le côté [AB] : si le triangle ABC est rectangle, l’hypoténuse est donc nécessairement le côté [AB] et le triangle ne peut être rectangle qu’en C.
On a d’une part AB2=³ 4p
2´2
=42×p
22=16×2=32 et d’autre part CA2+CB2=9+17=26. Ainsi AB26=CA2+CB2 : le triangle n’est pas rectangle.
2 Produit scalaire de deux vecteurs
Définition.
Soient #»u et #»v deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire de #»u et #»v est le nombre réel noté #»u·#»v défini par #»u·#»v = k#»uk × k#»vk ×cos¡#»u ; #»v¢.
On pose par ailleurs #»u·#»0 =0et #»0·#»v =0 pour tout vecteur #»u et tout vecteur #»v.
Exercice 3 – 1. Soient #»u un vecteur de norme 5 et #»v un vecteur de norme 3. On suppose que l’angle
¡#»u ; #»v¢a pour mesure principale 5π
6 . Calculer #»u·#»v.
2. Soient #»u tel quek#»uk =7et #»v un vecteur de norme 1. On suppose que l’angle ¡#»u ; #»v¢a pour mesure principale π
4. Calculer #»u·#»v. Résolution.
1.
#»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢
=5×3×cos µ5π
6
¶
=15×cos³ π−π
6
´
=15׳
−cos³π 6
´´
= −15× p3
2
2.
#»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢
=7×1×cos
³π 4
´
=7× p2
2
Exercice 4 – 1. Soient #»u tel quek#»uk =1
2 et #»v un vecteur de norme 6. On suppose que #»u·#»v = −3. Quelle est la mesure principale de l’angle¡#»u ; #»v¢?
2. Soient #»u tel que k#»uk =2 et #»v tel que k#»vk =3. On suppose que #»u·#»v = −3. Quelle est la mesure principale de l’angle¡#»u ; #»v¢?
3. Soient #»u tel que k#»uk =5 et #»v tel que k#»vk =6. On suppose que #»u·#»v =15p2. Quelle est la mesure principale de l’angle¡#»u ; #»v¢?
4. Soient #»u tel que k#»uk =2
3 et #»v tel que k#»vk =6. On suppose que #»u·#»v = −2p3. Quelle est la mesure principale de l’angle¡#»u ; #»v¢?
5. Soient #»u tel que k#»uk =p2 et #»v tel que k#»vk =1. On suppose que #»u·#»v =1. Quelle est la mesure principale de l’angle¡#»u ; #»v¢?
Résolution.
1. La formule #»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢s’écrit ici :−3=1
2×6×cos¡#»u ; #»v¢, soit−3=3×cos¡#»u ; #»v¢ d’oùcos¡#»u ; #»v¢= −1.
On cherche donc l’angle de cosinus égal à−1 : l’angle¡#»u ; #»v¢a pour mesure principle πrad.
2. La formule #»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢s’écrit ici :−3=2×3×cos¡#»u ; #»v¢, soit −1=2×cos¡#»u ; #»v¢ (en divisant chaque membre par 3) et
cos¡#»u ; #»v¢=−1 2 .
L’angle¡#»u ; #»v¢a pour mesure principle 2π
3 radou −2π 3 rad. 3. La formule #»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢s’écrit ici :15p
2=5×6×cos¡#»u ; #»v¢, soitp2=2×cos¡#»u ; #»v¢ (en divisant chaque membre par 15) et
cos¡#»u ; #»v¢=p2 2 .
L’angle¡#»u ; #»v¢a pour mesure principle π
4radou −π 4 rad. 4. La formule #»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢s’écrit ici :
−2p 3=2
3×6×cos¡#»u ; #»v¢, soit−2p
3=4×cos¡#»u ; #»v¢, ce qui donne cos¡#»u ; #»v¢=−2p3
4 ou encore cos¡#»u ; #»v¢=−p3
2 .
L’angle¡#»u ; #»v¢a pour mesure principle 5π
6 radou −5π 6 rad. 5. La formule #»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢s’écrit ici :
1=p
2×1×cos¡#»u ; #»v¢, soit p1
2=cos¡#»u ; #»v¢. On rappelle que p1
2 s’écrit aussi p2
2 , en effet : p1
2= p2 p2p
2 (en multipliant par p2le numérateur et le dénominateur) et p2 p2p
2= p2
2 . L’angle¡#»u ; #»v¢a pour mesure principle π
4radou −π 4 rad.
Exercice 5 – 1. Soient #»u et #»v tels que k#»vk =3, #»u·#»v =3et ¡#»u ; #»v¢≡π
3 (mod 2π). Quelle est la norme de #»u ?
2. Soient #»u et #»v tels quek#»vk =1
2, #»u·#»v = −3et¡#»u ; #»v¢≡5π
6 (mod 2π). Quelle est la norme de #»u ?
Résolution.
1. La formule #»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢s’écrit ici : 3=°°#»u°°×3×cos³π
3
´,
soit1=°°#»u°°×1 2. D’où°°#»u°°=2.
2. La formule #»u·#»v =°°#»u°°×°°#»v°°×cos¡#»u ; #»v¢s’écrit ici :
−3=°°#»u°°×1 2×cos
µ5π 6
¶ , soit−6=°°#»u°°×−p3
2 . D’où°°#»u°°=p12
3.
3 Avec trois points
Si A, B, C sont trois points distincts dans le plan, le produit scalaire deAB# »etAC# » est : AB# »·AC# »=AB×AC×cos³AB ;# » AC# »´
Remarque
Comme pour tout réel α, on acos (α)=cos (−α), on a : AB# »·AC# »=AB×AC×cos¡BAC¢.
Définition (rappel du collège).
Dans un triangle ABC :
• La médiane issue de A est la droite passant par le sommet A et le milieu du segment [BC].
• La médiatrice de [BC] est la droite perpendiculaire à [BC] et passant par le milieu de [BC].
• La droite hauteur issue de A est la perpendiculaire à [BC] passant par A.
• La bissectrice de l’angle bAest la droite passant par A et coupant l’angle en A en deux angles égaux.
Propriété (rappel du collège).
Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane issue de A est aussi la hauteur issue de A, mais aussi la médiatrice de [BC], et également la bissectrice de l’angle en A.
Exercice 6 – Soit ABC un triangle équilatéral de côté 6 et I le milieu de[BC]. CalculerBC# »·BA# »,IB#»·IC#»,IC#»·IA#».
Résolution.
1. Dans un triangle équilatéral, les angles ont pour mesure π
3radou −π
3 rad. Le cosinus de ces deux angles est égal à 1
2. On a donc :
BC# »·BA# »=°°°BC# »°°°×°°°BA# »°°°×cos³BC ;# » BA# »´
=6×6×1 2
=18 2. Comme I est le milieu de [BC], on aIB=IC=BC
2 =3.
Par ailleurs le point I est sur le segment [BC] : l’angle ³IB ;#» IC#»´ est donc égal à π. IB#»·IC#»=°°°IB#»°°°×°°°IC#»°°°×cos³IB ;#» IC#»´
=3×3×cos (π)
= −9
3. Comme ABC est équilatéral, la médiane (AI) est aussi médiatrice du côté [BC]. L’angle ³IC ;#» IA#»´ est donc un angle droit et le cosinus de cet angle est égal à 0.
On a donc :
IC#»·#»
IA=°°°#»
IC°°°×°°°#»
IA°°°×cos³#»
IC ; #»
IA´
=IC×IA×0
=0
Exercice 7 – ABC est un triangle tel queAB=10,AC=2et # » AB·# »
AC=10. Déterminer BAC. Résolution.
On a AB# »·AC# »=AB×AC cos¡BAC¢, soit10=10×2×cos¡BAC¢ . D’où cos¡BAC¢
=1 2.
D’après le cours de trigo, on a doncBAC=π
3rad. □
Exercice 8 – ABC est un triangle tel queAB=p
2,AC=2 etAB# »·AC# »=2. DéterminerBAC. Exercice 9 – Soit ABCD un carré de côté 5. Déterminer # »
AB·# » AC et # »
AB·# » AD.
4 Carré scalaire
Propriété.
Soit #»u un vecteur. Le carré scalaire de #»u (c’est à dire #»u·#»u que l’on peut noter #»u2) est toujours égal au carré de la norme : #»u·#»u = k#»uk2.
Preuve.
• Si #»u=#»0 alors #»u·#»u =#»0·#»0 =0etk#»uk2= k#»0k2=02=0. L’égalité est donc vérifiée dans ce cas.
• Si #»u6=#»0 alors l’angle¡#»u ; #»u¢est égal à 0 (modulo 2π). Donc cos¡#»u ; #»u¢=1et
#»u·#»u = k#»uk × k#»uk ×cos¡#»u ; #»u¢
= k#»uk × k#»uk ×1
= k#»uk2 On a bien encore #»u2= k#»uk2.
Remarque
En particulier, pour deux points AetB, le carré de la longueur ABpourra être notée sous la formeAB2, sous la forme k# »
ABk2 ou encore sous la forme # »
AB2 (en d’autres termes : AB2=# » AB·# »
AB).
5 Quelques règles de calcul
Exercice 10 – Soient #»u et #»v deux vecteurs. A-t-on toujours #»u·#»v =#»v·#»u ? Justifier.
On peut démontrer les règles suivantes (que l’on admettra ici) :
Propriété.
• (symétrie) Pour tout vecteur #»u et tout vecteur #»v : #»u·#»v =#»v·#»u.
• (distributivité) Pour tout vecteur #»u, tout vecteur #»v, tout vecteur w#» : #»u·¡#»v +w#»¢=#»u·#»v+#»u·w#».
• Pour tout vecteur #»u, tout vecteur #»v et tout réel k, on a #»u·¡k#»v¢=¡k#»u¢·#»v =k¡#»u·#»v¢.
Exercice 11 – Soient #»u et #»v deux vecteurs telsk#»uk =5,k#»vk =2et¡#»u ; #»v¢≡π
3 (mod 2π).
a) Calculer #»u·#»v, #»u2 et #»v2. b) Calculer ¡#»u+#»v¢·#»u. c) Calculer ¡#»u+#»v¢·¡#»u−#»v¢. d) Calculer
¡3#»u+2#»v¢·¡#»u−5#»v¢. e) Calculer¡#»u+#»v¢2.
6 Expression analytique du produit scalaire
Propriété.
Dans un repère orthonormé du plan, soient #»u¡x ; y¢et #»v¡x0 ; y0¢
deux vecteurs. Le produit scalaire de
#»u et #»v vérifie l’égalité suivante : #»u·#»v =xx0+y y0 .
Preuve.
Notons³O ; #»
i , #»
j´
le repère orthonormé dans lequel on travaille.
• Rappelons déjà que dire que ce repère est orthonormé signifie que : (a) d’une part, on a k#»
ik = k#»
jk =1. Et l’on a donc en particulier #»
i2= k#»
ik2=12 =1 et de même
#»j2= k#»jk2=12=1. (b) d’autre part #»
i ⊥#»
j, plus précisément ³#»
i ; #»
j´
=π
2 (mod 2π) , d’où #»
i ·#»
j = k#»
ikk#»
jk ×cos³π 2
´=0.
• Rappelons également que #»u a pour couple de coordonnées ¡x ; y¢
dans ce repère signifie que l’on a
#»u=x#»
i +y#»
j. De même #»v =x0#»
i +y0#»
j.
• On peut maintenant exprimer le produit scalaire #»u·#»v :
#»u·#»v =³x#»
i +y#»
j
´·³ x0#»
i +y0#»
j
´
=³ x#»
i´
·³ x0#»
i´ +³
x#»
i ´
·³ y0#»
j´ +³
y#»
j´
·³ x0#»
i´ +³
y#»
j´
·³ y0#»
j´
=xx0#»
i ·#»
i +x y0#»
i ·#»
j +y x0#»
j ·#»
i +y y0#»
j ·#»
j
=xx0×1+x y0×0+y x0×0+y y0×1
=xx0+y y0
Exercice 12 – 1. Dans un repère orthonormé du plan, soient #»u de couple de coordonnées (−2 ; 3)et #»v de couple de coordonnées (5 ; 4). Calculer #»u·#»v.
2. Dans un repère orthonormé du plan, soient #»u de couple de coordonnées µ
−1 2 ; 4
5
¶
et #»v de couple de coordonnées
µ7 3 ; 4
¶
. Calculer #»u·#»v.
Exercice 13 – Dans un repère orthonormé du plan, on considère les trois points A µ−1
2 ; 2 3
¶ , B
µ 3 ; −2
53
¶ et C (−1 ; 1).
1. Calculer # » AB·# »
AC
2. En déduire une valeur approchée au dixième de degré de l’angleBAC (avec la calculatrice).
3. Calculer # » CB·# »
CA
4. En déduire une valeur approchée au dixième de degré de l’angleBCA (avec la calculatrice).
7 Orthogonalité
Définition.
Deux vecteurs non nuls sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires.
Le vecteur nul #»
0 ne définit pas de direction et est donc exclu de la définition précédente. Toutefois, pour des raisons mathématiques, on convient que le vecteur nul #»0 est orthogonal à tout autre vecteur .
Propriété.
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. En d’autres termes, pour deux vecteurs #»u et #»v quelconques, on a :
#»u ⊥#»v ⇐⇒#»u·#»v =0
Preuve.
1. Si #»u=#»0 ou #»v =#»0, on a #»u ⊥#»v et #»u·#»v =0.
2. Si #»u 6= #»0 et #»v 6= #»0, alors #»u ⊥ #»v ⇐⇒¡#»u ; #»v¢≡ ±π
2 (mod 2π)⇐⇒cos¡#»u ; #»v¢=0, d’où #»u ⊥ #»v ⇐⇒
k#»uk × k#»vk ×cos¡#»u ; #»v¢=0⇐⇒#»u·#»v =0. Exercice 14 – Pour chacun des cas suivants :
• Représenter les deux vecteurs sur une figure (avec le point (0; 0)pour origine).
• Sont-ils orthogonaux (faire une conjecture graphique puis démontrer) ? a) #»u(−3 ; 2), #»v(2 ; 3). b) #»uµ1
2 ; −3 4
¶ , #»vµ1
4 ; −1 6
¶
. c) #»u³p3 ; 2´, #»v³−2p2 ; p6´.
Exercice 15 – 1. Déterminer le (ou les) réel(s)x tel(s) que #»u(−2x ; −5)et #»v(x ; 8)soient orthogonaux.
2. Déterminer le (ou les) réel(s) x tel(s) que #»u(x ; x+2)et #»v(x+2 ; 2)soient orthogonaux.
3. On considère #»u(x+5 ; x−3) et #»v(x ; 3).
(a) Vérifier qu’avecx=1 ces deux vecteurs sont orthogonaux.
(b) En déduire la seconde valeur de x telle que #»u⊥#»v.
Exercice 16 – Soient A (2 ; 5),B (1 ; 2),C (5 ; 4),D (8 ; 3) quatre points.
1. Représenter les quatre points sur une figure.
2. Emettre une conjecture graphique sur la perpendicularité des droites (AB)et(CD). 3. Confirmer ou infirmer votre conjecture par le calcul.
Exercice 17 – Soient A (2 ; 1),B (4 ; 2),C (1 ; 1) trois points.
1. Calculer ABet AC. 2. Calculer AB# »·AC# ».
3. En déduire la nature du triangle ABC.
8 Le théorème d’Al Kashi
Théorème (Al Kashi ou Pythagore généralisé).
Dans un triangle ABC quelconque, on a :
• AC2=BA2+BC2−2×BA×BC×cos¡bB¢
• BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos¡bA¢
• AB2=CA2+CB2−2×CA×CB×cos¡bC¢
Remarque
Si ABC est rectangle en A, on a cos¡bA¢
=cos
³π 2
´=0. L’égalité BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos¡bA¢ se réécrit donc BC2=AB2+AC2 : on retrouve ainsi l’égalité de Pythagore.
Preuve.
AB2=# » AB2
=³AC# »+CB# »´2 (relation de Chasles)
=# » AC2+2# »
AC·# » CB+# »
CB2 (en développant)
=AC2−2# » CA·# »
CB+CB2
=CA2+CB2−2CA×CB×cos¡bC¢ Exercice 18 – Soit ABC un triangle tel que AB=3, AC=8etBAC=π
3rad. 1. Calculer la longueur BC.
2. Déterminer une valeur approchée au millième de la mesure en radians de l’angle en C.
Exercice 19 – Soit ABC un triangle tel que AB=2, AC=3etBAC=π 4rad. 1. Calculer la longueur BC.
2. Déterminer une valeur approchée au millième de la mesure en radians de l’angle en C.
Exercice 20 – Un triangle ABC est tel que AB=9,BC=8,AC=7. Donner une mesure des angles.
Exercice 21 – Un triangle ABC est tel que AB=6,BC=5p
2,AC=7. Donner une mesure des angles.
9 Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
Propriété.
Soient#»u et#»v deux vecteurs colinéaires. Alors#»u·#»v =(+k#»uk × k#»vklorsque #»u et #»v sont de même sens
−k#»uk × k#»vklorsque #»u et #»v sont de sens opposés
Preuve.
• Si #»u et #»v sont colinéaires de même sens, alors l’angle entre #»u et #»v est l’angle nul, donccos¡#»u ; #»v¢=1. On a donc #»u·#»v = k#»uk × k#»vk ×cos¡#»u ; #»v¢= k#»uk × k#»vk.
• Si #»u et #»v sont colinéaires de sens opposés, alors l’angle entre #»u et #»v est le demi-tour (πrad), donc cos¡#»u ; #»v¢= −1. On a donc #»u·#»v = k#»uk × k#»vk ×cos¡#»u ; #»v¢= −k#»uk × k#»vk.
Exercice 22 – Soit A, B,C trois points alignés tels queAB=5et AC=2. 1. SiC∈[AB], déterminer AB# »·AC# ».
2. SiC∉[AB], déterminer # » AB·# »
AC.
10 Projeté orthogonal
Définition.
Soit d une droite et M un point du plan. On appelle projeté orthogonal de M sur d le point H à l’instersection ded et de la perpendiculaire à d passant par M.
Remarque
Par exemple, dans un triangle ABC, le pied de la hauteur issue de A est le projeté orthogonal de A sur (BC).
Propriété.
Soient A, B, C trois points du plan. Notons H le projeté orthogonal de C sur (AB). AlorsAB# »·AC# »=AB# »·AH# ».
Preuve.
Avec la relation de Chasles, nous avons : AB# »·AC# »=AB# »·³AH# »+HC# »´. En développant :AB# »·AC# »=AB# »·AH# »+AB# »·HC# ».
Or # » AB⊥# »
HC donc # » AB·# »
HC=0. Finalement : # »
AB·# » AC=# »
AB·# »
AH □
Remarque
Comme le projeté orthogonal de C sur (AB) est un point de la droite(AB), les trois points A,B,H sont alignés. Le produit scalaire AB# »·AH# » est donc égal à +AB×AH ou à −AB×AH (d’après le paragraphe précédent sur le produit scalaire de vecteurs colinéaires).
Exercice 23 – ABC est un triangle équilatéral de côté 5. On noteC0 le milieu de[AB]. 1. Calculer AB# »·# »
AC0. 2. En déduireAB# »·AC# ».
Exercice 24 – ABCD est un carré de centre O et de côté 10. On note I le milieu de[AB]. 1. Calculer # »
AB·# »
AB. 2. En déduire # » AB·# »
AC. 3. Calculer # » AB·#»
AI. 4. En déduire # » AB·# »
AO.
Exercice 25 – ABCD est un losange de centre O.AC=7etBD=4. Calculer AB# »·AC# »,AC# »·BD# »,CB# »·BD# »,CO# »·CB# ». Exercice 26 – Un triangle ABC est tel que AB=5,BC=8,AC=10.
1. Déterminercos¡BAC¢ .
2. Soit H le projeté orthogonal de C sur(AB). (a) Calculer AB# »·AC# ».
(b) En déduire les longueursAHet CH.
Exercice 27 – Un triangle ABC est tel que AB=6,BC=5,AC=7. 1. Déterminercos¡ACB¢
.
2. Soit K le projeté orthogonal de B sur(AC). (a) CalculerCA# »·CB# ».
(b) En déduire les longueursCK etBK.
