u  ufu u  xxf x ;2                

ov 1 / 2

Méthode d’étude d’une suite récurrente (TS)

Exemple :

On considère la suite

 

u_{n nIN} définie par u₀ 6 et pour tout entier naturel n, 4

1  2 

 n

n u

u

(1) Représentation et conjectures

La suite

 

u_{n nIN} est définie par une relation de récurrence du type

 

_n

n f u

u _1  avec f

 

x  2x4 pour x



2;



On trace la courbe C_f représentant la fonction f (après avoir étudié la fonction f si nécessaire) et la droite Δ d’équation yx (toujours la même)

On place u₀ sur l’axe des abscisses.

On construit ^u₁ ^{ f}

 

^u₀ sur l’axe des ordonnées grâce à la courbe C_f . On reporte u₁ sur l’axe des abscisses grâce à la droite Δ d’équation y x. On construit ^u₂ ^{ f}

 

^u₁ sur l’axe des ordonnées grâce à la courbe C_f . On reporte u₂ sur l’axe des abscisses grâce à la droite Δ d’équation y x. Etc …

Conjecture concernant le sens de variation de la suite La suite

 

u_{n nIN} semble être décroissante

On remarque qu’il n’y a aucun lien direct entre le sens de variation de la fonction f (qui est ici croissante) et celui de la suite

 

^u_{n nIN} (qui est ici décroissante).

Par coïncidence, elles peuvent parfois avoir le même sens de variation, mais ce qui influence réellement le sens de variation de la suite

 

u_{n nIN} c’est la position de la courbe C_f par rapport à la droite Δ.

Conjecture concernant les bornes de la suite

La suite

 

u_{n nIN} semble bornée, majorée par son premier terme u₀ 6 puisqu’elle paraît décroissante et minorée par 0 puisqu’elle semble prendre uniquement des valeurs positives

Conjecture concernant la convergence de la suite

La suite

 

^u_{n nIN} semble convergente puisque ses valeurs semblent

s’accumuler autour du point d’intersection de la courbe C_f et de la droite Δ.

La limite de la suite

 

u_{n nIN} serait donc la solution de l’équation f

 

x x, ce qu’on appelle un point fixe de la fonction f (car ce nombre est sa propre image)

(2) Démonstration des conjectures

Démontrons que la suite

 

u_{n nIN} est décroissante et minorée par 0

Pour cela, on démontre par récurrence sur n que pour tout entier naturel n on a : 0u_n1 u_n

ov 2 / 2

Initialisation :

Pour n0 on a u₀ 6 et u₁  2u₀ 4  164, donc on a bien

0

0u1 u Hérédité :

Supposons que pour un certain entier naturel n on a 0u_n1 u_n et démontrons qu’on a aussi 0u_n2 u_n1

Pour démontrer une inégalité par récurrence, il est souvent judicieux de commencer en partant de l’hypothèse de récurrence (attention, c’est au contraire rarement judicieux lorsqu’il s’agit de démontrer une égalité).

Par hypothèse de récurrence on a : 0u_n1 u_n donc en multipliant par 2 (qui est positif) : 202u_n12u_n puis en ajoutant 4 : 42u_n142u_n 4 et enfin comme la fonction racine carrée est croissante sur



0;



on

obtient : 4 2u_n14 2u_n4

c'est-à-dire : 2u_n2 u_n1 On a a fortiori 02u_n2 u_n1 Conclusion :

D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n on a :

n

n u

u 

 _1 0

On en déduit que la suite

 

u_{n nIN} est décroissante et minorée par 0, par conséquent elle est convergente vers une limite L0 (d’après un théorème sur les suites monotones bornées)

(3) Détermination de la limite par une recherche de point fixe Nous cherchons le nombre réel L0 tel que u_n L

n 



lim .

En décalant de 1 la numérotation des termes de la suites, sans changer les valeurs, on obtiendra la même limite, on a donc aussi u_n L

n _ 



 1

lim , c'est-à- dire f

 

u_n L

n 



lim .

On a u_n L

n 



lim et f

 

x f

 

L

L

x 

lim car f est une fonction continue sur



^2;^



et L^



^2;^



, donc, par composition, f

 

u_n f

 

L

n 



lim

Finalement, le nombre cherché vérifie ^{L f}

 

^L , il s’agit donc d’une des solutions de l’équation f

 

x  x qui sont appelées points fixes de la fonction f.

Résolvons l’équation f

 

x x

 

x x x x

f   2 4 

 

x x x 0 et 2x 4 x²

f     

 

x x  x0 et x² 2x40 f

Le discriminant vaut 

 

2 ²41

 

4 20

L’équation x²2x40 admet donc 2 solutions réelles :

 

_{1 5}

2 5 2 2 1

2

20 2

1    









x avec 1 51,236

et

 

_{1 5}

2 5 2 2 1

2 20 2

2    









x avec 1 53,236

Nous cherchons L0 donc la seule limite possible est lim 1 5



 n

n u

Attention, l’équation f

 

x x peut avoir des solutions même si la suite définie par

 

_n

n f u

u _1  n’est pas convergente. Résoudre l’équation permet de déterminer les limites possibles mais ne permet pas de justifier que la suite converge effectivement vers l’une d’entre elles.

Contre exemple : La suite

 

v_{n nIN} définie par v₀ 2 et pour tout entier naturel n,

n

n v

v 1

1 

 vaut alternativement 2 et

2

1. Elle est donc périodique et n’admet pas de limite.

Pourtant avec

 

x x

f 1

 , l’équation f

 

x  x admet 2 solutions qui sont 1 et 1