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On résout donc l’équation : f(z) =z ⇔ 3iz+ 5 =z ⇔ 5 = z(1−3i

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2013–2014

Devoir maison n07 – mathématiques Correction

Exercice 1

1. On calcule simplement :

zA0 =f(zA) =f(1−i) = 3i(1−i) + 5 = 3i−3i2 + 5 = 3i+ 3 + 5 = 8 + 3i

2. C a pour image lui-même par f si f(zC) = zC. On résout donc l’équation : f(z) =z ⇔ 3iz+ 5 =z

⇔ 5 = z(1−3i)

⇔ 5

1−3i =z

⇔ z = 5(1 + 3i)

(1−3i)(1 + 3i) = 5(1 + 3i)

12+ 32 = 5(1 + 3i)

10 = 1 + 3i 2 Ainsi, zC = 1 + 3i

2 , et donc C a pour coordonnées

1

2;3 2

. 3. On calcule :

z−→CA =zA−zC = 1−i− 1 + 3i

2 = 2−2i

2 − 1 + 3i

2 = 2−2i−1−3i

2 = 1−5i 2 et

z−−→CA0 =zA0 −zC = 8 + 3i− 1 + 3i

2 =· · ·= 15 + 3i 2 4. D’après les affixes des vecteurs on peut lires les coordonnées :−→

CA

1

2;−5 2

et−−→

CA0

15

2 ;3 2

. Calculons alors leur produit scalaire :

−→CA·−−→

CA0 = 1 2× 15

2 +

−5 2

×3 2 = 15

4 −15 4 = 0 Puisque leur produit scalaire est nul, on en déduit que les vecteurs −→

CAet−−→

CA0 sont normaux.

(Autrement dit les droites (CA) et(CA0) sont perpendiculaires.)

5. • Pour déterminer l’image par f de l’axe des réels purs, on considère tout d’abord un point quelconque M de l’axe des réels purs. Alors M(xM; 0) avec xM ∈ R, et donc zM = xM. Notons M0 l’image de M par f. Alors M0 a pour affixe :

f(zM) = f(xM) = 3ixM + 5 = 5 + 3ixM

Ainsi, M0(5; 3xM), autrement dit M0 appartient à la droite d’équation x= 5.

Réciproquement1, soit M0 un point de la droite d’équation x= 5. Alors M0 a pour coor- données (5;y) avec y ∈ R, donc zM0. Or, en considérant le point My

3; 0

, on peut voir que :

f(zM) = fy 3

= 3i× y

3 + 5 =iy+ 5 = 5 +iy =zM0 Ainsi, M0 est l’image de M par f, M étant un point de l’axe des réels purs.

Conclusion : l’image par f de la droite des réels purs est la droite d’équation x= 5.

1. On doit s’assurer que tout point de la droite d’équationx= 5est l’image d’un point de l’axe des réels parf.

(2)

• Pour obtenir l’image de l’axe des imaginaires purs, on opère de même manière.

Un point M de l’axe des imaginaires purs a pour coordonnées (0;yM) avec yM ∈ R. Son image M0 a alors pour affixe f(iyM) =· · ·=−3y+ 5∈R. Autrement dit, M0 appartient à l’axe des réels purs (la droite d’équation y = 0).

Réciproquement, soit M0 un point de l’axe des réels purs. Alors M0(x,0)avec x∈R. On considère le point M

0;5−x 3

. Alors l’image par f deM a pour affixe :

f(zM) =f

5−x

3 i

= 3i× 5−x

3 i+ 5 =−(5−x) + 5 =x=zM0 Ainsi, M0 est l’image de M par f, M étant un point de l’axe des imaginaires purs.

Conclusion : l’image par f de la droite des imaginaires purs est l’axe des réels purs.

6. Voici la figure demandée. L’image de l’axe des réels purs est tracée en bleu :

x y

O −→u

→v

A

A0

C

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