Vdouine – Quatrième – Chapitre 8 – Pyramides et cônes
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CONTRÔLE 8 PYRAMIDES ET CÔNES
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
Capacités attendues et évaluées
Pyramides et cônes de révolution : patrons et perspectives cavalières
Pyramides et cônes de révolution : formule permettant de calculer le volume
Utilisation du théorème de Pythagore pour faire des calculs de longueur dans l’espace
Utilisation du cosinus d’un angle aigu pour faire des calculs de longueur dans l’espace
Compétences mises en jeu et évaluées
Savoir lire et comprendre un énoncé
Chercher / Modéliser / Représenter / Raisonner / Calculer / Communiquer
Exercice 1 – 6 points
On propose ci-contre la perspective cavalière d’une pyramide SABCD à base rectangulaire dont les faces latérales sont quatre triangles isocèles. H est le milieu de [AC] et de [BD].
On donne les dimensions du rectangle (8 cm pour la longueur et 6 cm pour la largeur). On donne également la longueur des arêtes latérales (13 cm pour chacune d’entre elles).
1. En justifiant toutes les étapes du raisonnement, déterminer la longueur du segment [AC].
2. En justifiant toutes les étapes du raisonnement, déterminer la longueur du segment [SH].
3. En déduire le volume de la pyramide SABCD.
4. Tracer sur une feuille blanche le patron de cette pyramide à l’échelle 1/2 c’est-à-dire une échelle pour laquelle 1 centimètre sur le dessin représente 2 centimètres dans la réalité.
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Exercice 2 – 6 points
On propose ci-contre la perspective cavalière d’un cône de révolution.
On donne la longueur du rayon de base OA = 6 centimètres. On donne également la longueur d’une génératrice du cône SA = 10 centimètres.
1. En justifiant toutes les étapes du raisonnement, déterminer la hauteur [SO] du cône.
2. En déduire le volume du cône.
3. En justifiant toutes les étapes du raisonnement, déterminer la mesure de l’angle d’ouverture du cône (angle de sommet S).
On souhaite maintenant tracer le patron du cône. Une figure (qui n’est pas à l’échelle) est proposée ci-contre.
4. Déterminer la mesure de l’angle BSA déterminant la portion de disque nécessaire à la constitution de ce patron.
5. Tracer sur une feuille blanche le patron de ce cône à l’échelle 1/2, c’est-à-dire une échelle pour laquelle 1 cm sur le dessin représente 2 cm dans la réalité.
Exercice 3 – 4 points
On observe que le volume d’un cylindre de révolution est trois fois plus grand que le volume d’un cône de révolution de même base et de même hauteur comme l’indique le dessin ci-contre. On précise que cette observation est également valable pour les pyramides et les primes droits de même base et de même hauteur. En vous appuyant sur ces deux observations, déterminer dans chaque situation
proposée ci-dessous le volume attendu. Le cylindre est trois fois plus « grand » que le cône.
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On fait tourner des figures autour d’un de leurs côtés comme le proposent les six schémas proposés ci-dessous. Associer à chaque figure, le solide de révolution obtenu par rotation.
Exercice 4 – 4 points
On considère la pyramide SABCD à base rectangulaire. Cette pyramide a été coupée par un plan parallèle à sa base, au milieu de sa hauteur. On donne les longueurs suivantes exprimées en cm : AB=6, BC=8, SO=10. On précise que SO’=SO/2.
1. Déterminer le volume de la pyramide SABCD. Déterminer le volume de la pyramide SA’B’C’D’.
2. En déduire le volume du tronc de pyramide ABCDA’B’C’D’. Peut-on utiliser ce tronc de pyramide pour stocker 150 mL de glace ?
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