ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 2 - durée : 4 h 21 septembre 2012
Exercice I.
Calculer et simplier f
−4 7
, oùf est la fonction dénie par f(x) = −3
−23 −5x −x+ 1. Exercice II.
Soitf,g ethtrois fonctions telles que la fonction u=f−g◦h soit bien dénie, sur un ensembleD. On suppose que f etg sont croissantes, et que hest décroissante.
En utilisant la dénition :
1. Montrer que g◦h est décroissante sur D. 2. En déduire que uest croissante sur D.
3. En déduire alors que la fonction udénie par u(x) =√
x−e−4x+3 est croissante surR+. Problème.
Soit la fonctionf dénie par f(x) =x2ln(x). On note Cf la courbe représentative def. On donne aussi e−12 '0.6 et ln(2)'0.7
1. Déterminer l'ensemble de dénition Df de f.
2. Calculer f(1)et une valeur approchée au dixième de f(2). 3. Justier que lim
x→+∞f(x) = +∞. (On admet que lim
x→0+f(x) = 0.) 4. Montrer que ∀x >0, f0(x) =x(1 + 2 ln(x)).
5. Résoudre l'inéquation 1 + 2 ln(x)>0. 6. En déduire l'étude des variations def.
7. Quels sont les (éventuels) extrema de f? (On en calculera une valeur approchée au centième.) 8. La fonction f est-elle majorée ? Minorée ? Préciser.
9. Déterminer l'équation de la tangente à Cf en x= 1.
10. En quel(s) point(s) la tangente àCf est-elle horizontale ? On admet que la tangente à Cf à l'origine est horizontale.
11. Tracer l'allure deCf, en s'aidant des tangentes.
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