D346. Le ballon dans son filet
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à
constituer un filet comportant huit nœuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a.
On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface. Le volume du ballon est alors de 9200 cm³. En déduire a.
Solution proposée par Paul Voyer
Les arêtes d'un cube d'arête a sont des lacets.
Après gonflage, le cube est inscrit dans la sphère formée par le ballon.
Les lacets forment les arêtes (arcs de grand cercle) de la figure formée.
Les grand cercles relient les sommets de deux arêtes parallèles diagonalement opposées d'un cube.
Le volume de la sphère est 9200 3
³ 4R
cm³. Son rayon est R=12.9987 cm.
Le grand cercle a pour rayon R, comme la sphère. La longueur de l'arc a est :
a =
3 arcsin 1
*
2R 16.00 cm.
