a a = 2000. En déduire

E139 – Les indices s’indicent [** à la main]

Des entiers positifs a₁ = 12,a₂,a₃,….sont en progression arithmétique de raison > 0. Il existe un entier k tel que

ak

a a

ak

aa

a

Solution proposée par Bernard Vignes

Soit r la raison > 0 de la progression arithmétique.

On a a_i = a₁ + (i – 1)r = 12 + (i – 1)r = 2000, soit (i – 1)r = 1988 =2².7.71 Les valeurs possibles de r sont 2,4,7,14,…

1^er cas r = 2  i = 995  Impossible de remonter en arrière, il n’y a pas d’entier impair dans la progression arithmétique (PA)

2^ème cas r = 4  i = 498  Impossible de remonter en arrière, il n’y a pas d’entier = 498 dans la PA dont tous les termes sont nuls modulo 4.

3^ème cas r = 7  i = 285 a₄₀ = 12 + (40 – 1).7 = 285  a₅ = 12 + (5 – 1).7 = 40  k = 5 On en déduit

a5

a

a