E139 – Les indices s’indicent [** à la main]
Des entiers positifs a₁ = 12,a₂,a₃,….sont en progression arithmétique de raison > 0. Il existe un entier k tel que
ak
a a = 2000. En déduire
ak
aa
a
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
La raison r de cette suite est donc un diviseur de (2000 - 12) = 1988 . Les petits diviseurs >1 de 1988 sont : 2 , 4 , 7 , 14 , 28 , 49 & 71 Le terme ak a pour valeur : 12 + r.(k-1)
Le terme aak a , quant à lui la valeur : 12 + r.[12 + r.(k-1) - 1] = 12 + 11r + k.r² - r² Et le terme aaak = 12 + r.[ 12 + 11r + k.r² - r² -1 ] = 12 + 11r + 11r² + (k-1).r³ = 2000 Et l'équation finale : (k-1).r³ + 11r² + 11r - 1988 = 0
Or 14³ = 2744 ; r = 14 est déjà trop grand . r = 7 est solution unique dans N avec k = 5 Et a5 = 12 + 4 x 7 = 40 ; aa5 = 12 + 11 x 7 + 4 x 49 = 285
Ainsi 2000 = a285 = 12 + 284 x 7
Le terme à trouver est a 2000 ; ce terme vaut : 12 + 7 x 1999 = 14005 . a2000 = 14005
