En déduire la valeur de l’angle en A

B C

A

Q R

P

B C

A

Q R

P

B C

A'

Q' R'

P = U

T S

D Problème D189. Les bissectrices prennent leur pied

Dans ce triangle acutangle ABC où Q et R sont les pieds des bissectrices issues de B et de C sur les côtés opposés, il existe un point P sur BC tel que PQR est un triangle équilatéral. En déduire la valeur de l’angle en A.

Sur l’arc BC du cercle circonscrit à ABC, on trace un point D quelconque de l’autre côté de A par rapport à BC. Dans le triangle BCD, les points S, T et U sont les pieds des bissectrices du triangle BCD issues de B, C et D sur les côtés opposés.

Démontrer que le triangle STU est rectangle.

Solution :

1) Supposons qu'il existe un triangle PQR équilatéral ayant les propriétés souhaitées. Les triangles BRQ et BPQ ont deux côtés égaux et un angle égal, mais qui n'est pas compris entre ces côtés... Il y a donc deux cas à envisager : ou bien les triangles sont égaux, ou bien l'angle BPQ est le supplémentaire de BRQ...

Dans le premier cas BRP est isocèle et, s'il en est de même pour CPQ, il est alors facile de vérifier que l'angle en A vaut 60°.

Dans le second cas, le quadrilatère BPQR aurait deux angles opposés supplémentaires, il en irait donc de même des angles en B et Q, si bien que l'angle en B vaudrait alors 120°... ce qui est incompatible avec le fait que ABC est acutangle.

[2) Notons que, lorsque l'angle en C (ou en B) vaut 120°, il existe bien un point P de BC tel que PQR soit équilatéral. Il suffit de considérer le point d'intersection P de BC avec le cercle passant par C, Q et R : comme les deux arcs RQ et RP sont interceptés par des angles de 60° (de sommet C), les angles de PQR sont bien ceux d'un triangle équilatéral.]

3) On notera cependant que, dans le cas de figure précédent, la seconde propriété étudiée par l'énoncé n'est pas vérifiée. Intéressons-nous à celle- ci dans le cas où l'angle en A vaut 60°, ce qui revient à s'intéresser à un triangle BDC dans lequel l'angle en D vaut 120° :

En considérant les symétriques de BC par rapport à BD et CD, on construit un triangle A'BC d'angle en A' égal à 60° et dont D est le centre du cercle inscrit. Le symétrique P de R' par rapport à BD n'est autre que l'intersection U de BC avec la bissectrice de l'angle en D [R'DB = 60° = BDP = PDC]. Il en va de même du symétrique de Q' par rapport à CD et R'PQ' est donc un triangle équilatéral de centre D, ce qui prouve au passage la réciproque du 1) dans le cas où A = 60°.

Cela étant, le quadrilatère BPDR' possède un cercle inscrit car il est symétrique par rapport à BD et ce cercle est centré en T, qui est équidistant des côtés R'D et BP. Mais alors T est équidistant de BP et PD, si bien que PT n'est autre que la bissectrice de l'angle BPD... Il en est de même pour PS et l'angle CPD, donc PS et PT sont perpendiculaires.