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Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 2 cours de Calcul Diff´ erentiel

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Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 2 cours de Calcul Diff´ erentiel

Universit´ e de Paris 8 Feuille n

◦

1

Topologie g´ en´ erale

Indication 1 V´ erifier que :

1. sup(A + B) = sup A + sup B ; 2. sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B ) ;

3. max(inf A, inf B) 6 sup(A ∩ B) 6 min(sup A, sup B) si A ∩ B 6= ∅ ; 4. inf(A ∪ B) = min(inf A, inf B ) ;

5. max(inf A, inf B) 6 inf(A ∩ B) 6 min(sup A, sup B) si A ∩ B 6= ∅ ;

Indication 2 Montrer que J

x

est un intervalle ouvert ; que J

x

= J

y

ou J

x

∩ J

y

= ∅ . Et penser que Q est d´ enombrable.

Indication 3 Pour trouver m, que prendriez-vous si on voulait seulement m ∈ R ?

Indication 4 Revenir ` a la d´ efinition de ce qu’est un “ensemble ferm´ e” et de ce qu’est une

“boule ferm´ ee”.

Indication 7 Une suite de l

∞

est not´ ee (x

p

)

p∈N

, pour chaque p > 0, x

p

est elle mˆ eme une suite x

p

= (x

p

(0), x

p

(1), x

p

(2), . . .).

Indication 8 Montrer – kfk 6 N (f) ;

– kf

0

k

∞

6 kfk

∞

+ kf k ; – kfk

∞

6 kf k.

Indication 10 – Montrer kf k

1

6 kf k

∞

.

– Par un contre-exemple, montrer qu’il n’existe aucune constante C > 0 tel que kf k

∞

6 Ckf k

1

pour tout f .

Indication 11 Les seules relations sont :

N

1

6 N

2

6 2N

1

6 2N

4

6 2N

3

.

1

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