Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Alg` ebre Lin´ eaire

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Alg` ebre Lin´ eaire

Universit´ e de Paris 8 Feuille n

^◦

3

Matrices

Exercice 1 Effectuer les op´ erations matricielles suivantes :

a. 



1 3 1 1 0 0 1 2 2



 +





0 0 5 7 5 0 2 1 1



 .

b.

2 ·

1 8 −3 4 −2 5

.

c.

1 0 2

−1 3 1

×



 3 1 2 1 1 0



 .

d.

M =





0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11





Calculer

^t

M et 2M .

e.

0 1 2 3 4 5 6 7

+

0 0 1 1 0 1 0 1

.

f. Pour toute matrice M, les coordonn´ ees dans la base canonique sont les coefficients

M = X

16i6n, 16j6p

a

_i,j

E

_i,j

Donner la d´ ecomposition de :

0 1 2 4 3 1

.

Exercice 2 – D´ eterminer les valeurs de x, y et z v´ erifiant : x

²

+ y y

²

+ z

z y

²

=

10 25

−11 4

.

Exercice 3 D´ eterminer lesquelles des matrices suivantes sont inversibles : 1 3

2 4

,

+2 −4

−1 +2

,





+1 +0 +2 +3 −1 +1

−2 +4 +3



 ,





+1 +2 +3

−1 +3 +2

−5 +9 +4



 .

1

Exercice 4 Soit

A =





−1 1 1

1 −1 1

1 1 −1





Calculer A

²

et montrer que A

²

= 2I − A, en d´ eduire que A est inversible et calculer A

⁻¹

. Exercice 5 Soit A une matrice carr´ ee d’ordre n ; on suppose que A

²

est une combinaison lin´ eaire de A et I

n

: A

²

= αA + βI

n

.

a. Montrer que A

ⁿ

est ´ egalement une combinaison lin´ eaire de A et I

_n

pour tout n ∈ N

^∗

. b. Montrer que si β est non nul, alors A est inversible et que A

⁻¹

est encore combinaison

lin´ eaire de A et I

_n

.

c. Application 1 : soit A = J

_n

− I

_n

, o` u J

_n

est la matrice Attila (envahie par les uns...), avec n > 1. Montrer que A

²

= (n − 2) A + (n − 1) I

_n

; en d´ eduire que A est inversible, et d´ eterminer son inverse.

d. Application 2 : montrer que si n = 2, A

²

est toujours une combinaison lin´ eaire de A et I

₂

, et retrouver la formule donnant A

⁻¹

en utilisant 2.

Exercice 6 a. On consid` ere la matrice A =





1 0 0 0 1 1 3 1 1



 .

(i) Soient B =





1 1 1 0 1 0 1 0 0



 et C =





1 1 1

1 2 1

0 −1 −1





Montrer que AB = AC, a-t-on A = C ? A peut-elle ˆ etre inversible ?

(ii) D´ eterminer toutes les matrices F telles que A × F = O (O ´ etant la matrice dont tous les coefficients sont nuls).

b. Soit A =





1 2 3 4

−1 4



. D´ eterminer toutes les matrices B telles que BA = I

2

. c. Soient A et B deux matrices carr´ ees n × n telles que AB = A + I

_n

.

Montrer que A est inversible et d´ eterminer son inverse (en fonction de B).

Exercice 7 Calculer A.B, B.A, (A + B)

²

, A

²

+ B

²

+ 2A.B avec :

A =





1 −1 1

2 0 1

3 2 0



 et B =





0 3 1

1 0 1

2 −1 1



 .

Exercice 8 Soit A =





1 1 0 0 1 1 0 0 1



 et B = A − I.

Calculer B

ⁿ

, puis A

ⁿ

pour n > 2.

Exercice 9 Calculer les inverses des matrices suivantes, quand elles sont inversibles :

A

₁

=

1 −3 2 −5

, A

₂

= 2 4

3 6

, A

₃

=





1 3 −1

2 −1 3

3 2 0





2

A

₄

=





1 2 −1

1 0 α

0 β 0



 ((α, β) ∈ R

²

), A

₄

=









1 2 1 2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 γ 2









(γ ∈ R )

Exercice 10 Pour m dans C , on pose :

A =









0 m 0 0

0 0 m 0

0 0 0 m

0 0 0 0









Calculer A

²

, A

³

, A

⁴

. En d´ eduire (I

₄

− A)

ⁿ

. Calculer (I

₄

− A)

⁻¹

et (I

₄

− A)

⁻ⁿ

.

Exercice 11 Soit E

_k,l

la matrice de M

_n

( C ) dont tous les coefficients valent 0 sauf le coefficient de la k-` eme ligne et l-` eme colonne qui vaut 1.

a. Montrer que {E

_k,l

, 1 6 k, l 6 n} est une base de M

_n

( C ), c’est la base canonique.

b. Etablir les r` egles de calcul de produit entre les matrices de la base canonique.

c. Calculer les produits A.E

_k,l

et E

_k,l

.A pour A ∈ M

_n

( C ). D´ eterminer les matrices A de M

_n

( C ) qui commutent ` a toute matrice X de M

_n

( C )(X.A = A.X).

Exercice 12 Soit J =





0 0 1 1 0 0 0 1 0



.

a. Calculer J

²

et J

³

.

b. Montrer que l’ensemble M des matrices :





a c b b a c c b a





o` u a, b, c sont des r´ eels, est un sous espace vectoriel de dimension 3 de M

₃

( R ). Que peut-on dire du produit de deux matrices de l’ensemble M ?

c. Calculer l’inverse de la matrice : A =





0 1 1 1 0 1 1 1 0





d. Soit B =





1 1 1 1 1 1 1 1 1



. Calculer B

²

, puis B

ⁿ

. e. Soit C = I

₃

+ B. Calculer C

ⁿ

.

f. Soit D =





2 1 1 1 2 1 1 1 2



 . Montrer que D

ⁿ

= α

_n

D + β

_n

I

₃

, o` u I

₃

est la matrice identit´ e 3 × 3 et α

_n

et β

_n

sont des r´ eels que l’on calculera.

3