Licence Math´ematiques et Gestion 2012-2013 Optimisation

Licence Math´ ematiques et Gestion 2012-2013 Optimisation

Examen du vendredi 11 janvier 2013. Dur´ ee deux heures

Exercice 1. (Bar` eme indicatif : 5 p.)

Nous consid´ erons le probl` eme (P ) min(x ₁ − x ₂ + x ₃ ) sous les contraintes x ₁ , x ₂ , x ₃ ≥ 0, x ₁ + x ₂ = 5, x ₂ + x ₃ = 7.

1. R´ esoudre (P ) en utilisant la m´ ethode du simplexe. (On d´ etaillera les calculs.)

2. R´ esoudre (P ) directement, de la mani` ere suivante : exprimer x 1 et x 3 en fonction de x ₂ , puis minimiser en tenant compte des contraintes x ₁ , x ₂ , x ₃ ≥ 0.

Exercice 2. (Bar` eme indicatif : 8 p.) Soit C ∈ M _n ( R ). Le rayon spectral de C est

ρ(C) := max{|λ| ; λ valeur propre de C}.

Rappelons le r´ esultat suivant, vu en cours :

La suite (x ^k ) ⊂ R ⁿ donn´ ee par x ⁰ ∈ R ⁿ , x ^k+1 = Cx ^k + c (avec c ∈ R ⁿ donn´ e), converge, pour tout choix de x ⁰ et pour tout choix de c, vers l’unique solution de l’´ equation x = Cx + c si et seulement si ρ(C) < 1.

Soit A ∈ M _m,n ( R ) une matrice injective et soit b ∈ R ^m . Soit f : R ⁿ → R , f (x) = 1

2 |Ax − b| ² .

Posons B := A ^∗ A et d := A ^∗ b. Notons λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ · · · ≤ λ _n les valeurs propres de B.

1. Rappeler les formules donnant ∇f (x) et H x f .

2. Trouver deux quantit´ es explicites α > 0 et β > 0 telles que αI _n ≤ H _x f ≤ βI _n , ∀ x ∈ R ⁿ . Dans la suite, nous nous int´ eressons au probl` eme (P ) min

x∈ R

f (x).

3. Rappeler pourquoi (P ) a exactement une solution x ^∗ , ainsi que la formule explicite de x ^∗ .

4. Ecrire, en fonction du point initial x ⁰ ∈ R ⁿ et du param` etre ρ > 0, la suite (x <sup>k</sup> ) ⊂ R <sup>n</sup> correspondant ` a la m´ ethode du gradient ` a pas constant (fixe) appliqu´ ee au probl` eme (P ).

5. Donner (d’apr` es un r´ esultat du cours) un nombre explicite γ > 0 tel que la m´ ethode d´ ecrite au point pr´ ec´ edent converge si ρ ∈]0, γ[.

Dans la suite, nous nous proposons de montrer que la valeur de γ ci-dessus est optimale, c’est-` a-dire, que si la m´ ethode converge alors ρ ∈]0, γ[.

6. Ecrire la r´ ecurrence satisfaite par x ^k sous la forme x ^k+1 = Cx ^k + c, avec C ∈ M _n ( R ) et c ∈ R ⁿ convenables, que l’on explicitera.

1

7. D´ eterminer les valeurs propres de C.

8. Conclure grˆ ace au r´ esultat rappel´ e au d´ ebut de l’exercice.

Exercice 3. (Bar` eme indicatif : 3 p.)

Mettre le probl` eme suivant sous la forme d’un (PLS) : min |x ₁ + x ₂ | sous la contrainte x ₁ − x ₂ ≥ 1.

Exercice 4. (Bar` eme indicatif : 4 p.)

Consid´ erons le probl` eme min(x ² + y ² ) sous la contrainte 2x + 3y = 13.

1. Montrer que ce probl` eme a une solution.

2. Ecrire le lagrangien L du probl` eme.

3. R´ esoudre le probl` eme de minimisation en utilisant le th´ eor` eme des multiplicateurs de Fritz John.

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