Licence Math´ematiques et Gestion 2012-2013 Optimisation

Licence Math´ ematiques et Gestion 2012-2013 Optimisation

Examen d’Optimisation -deuxi` eme session- Le lundi 24 juin 2013. Dur´ ee 90 minutes Documents autoris´ es : notes de cours et de TD

Exercice 1. Soit f : R

→ R , f (x, y) := x

+ 5xy + 13y

, ∀ (x, y) ∈ R

.

1. Trouver le plus grand a et le plus petit b tels que a I

≤ H

f ≤ b I

, ∀ (x, y) ∈ R

. 2. Pour ce choix de f :

– Ecrire explicitement les it´ erations de l’algorithme du gradient ` a pas constant.

– Donner explicitement le plus grand intervalle th´ eorique J ⊂ R tel que, si le param` etre ρ de l’algorithme du gradient ` a pas constant se trouve dans J, alors la m´ ethode converge.

– Montrer que, si ρ n’appartient pas ` a l’intervalle J de la question pr´ ec´ edente, alors l’algorithme du gradient ` a pas constant ne converge pas.

Exercice 2. On consid` ere la matrice

A =





1 α 0 α 1 β 0 β 1



 ,

avec α, β ∈ R .

En utilisant la condition n´ ecessaire et suffisante pour la convergence des m´ ethodes it´ eratives, donner une condition n´ ecessaire et suffisante portant sur α et β de sorte que

1. La m´ ethode it´ erative de Jacobi converge, respectivement

2. La m´ ethode it´ erative de Gauss-Seidel converge.

Exercice 3. R´ esoudre, par la m´ ethode du simplexe, le probl` eme max (x

+ x

+ x

+ x

) sous les contraintes x

≥ 0, x

≥ 0, x

≥ 0, x

≥ 0, x

+ x

≤ 5, x

+ x

≤ 7, x

+ x

≤ 9.

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