Question de cours :

SESSION 2019 E3A

Epreuve de Mathématiques 2 PSI

Question de cours :

1) Théorème de Cauchy. SoitI un intervalle non vide de R. SoientA : I →M_n(C) et B : I →M_n,1(C), deux applications continues surI. Soit(S)le système différentielX^′(t) =A(t)X(t) +B(t).

Pour tout(t₀, X₀)∈I×M_n,1(C), il existe une solution de(S)surIet une seule vérifiant de plus X(t₀) =X₀. 2)

2.1.j=cos 2π

3

+isin 2π

3

=e^2iπ3 . Donc,|j|=1 et arg(j) = 2π 3 [2π].

2.2.j³=e^2iπ=1. Par suite, pourk∈N,j^3k= j³k

=1 puisj^3k+1=jet j^3k+2=j². Ensuite, puisquej6=1,1+j+j²= 1−j³

1−j =0. Par suite, pourp∈N,

• s_3p =1+j^3p+j^6p=1+1+1=3,

• s3p+1=1+j^3p+1+j^6p+2=1+j+j²=0,

• s3p+2=1+j^3p+2+j^6p+4=1+j²+j=0.

2.3.Le déterminant du système proposé est

∆=Van 1, j, j²

= (j−1) j²−1

j²−j

6

=0.

Le système proposé admet un triplet solution et un seul. Il est clair que cette solution est 1

3,1 3,1

3

. 3)det(V_γ) = Y

06i<j6n−1

(γ_j−γi).

Partie 1

1)S’il existe (i, j)∈J0, n−1K² tel quei6=jet γi=γj, alors les colonnesCi+1et Cj+1 de det(Vγ)sont les mêmes. On en déduit que det(V_γ) =0.

2)Pest un polynôme de degré inférieur ou égal àn−1. L’égalité Xn

j=1

λjCjfournit les égalités :∀i∈J0, n−1K, Xn

j=1

λjγ^j−1_i =0

ou encoreP(γ_i) =0. Ainsi,Pest un polynôme de degré au plusn−1admettant au moinsnracines deux à deux distinctes.

On en déduit queP=0 ou encore :∀j∈J1, nK,λ_j=0.

Ceci montre que la famille desnlignes deV_γest une famille libre. PuisqueV_γest une matrice carrée,V_γest une matrice inversible. Mais alors, det(V_γ)6=0.

3)

3.1.Pour touti∈J0, n−1K,Ψ⁽ⁱ⁾=

n−1X

k=0

mkγⁱ_kψk.

3.2.Supposons de plus que

n−1X

k=0

mkψk=0. Alors, pour touti∈J0, n−1K,Ψ⁽ⁱ⁾=

n−1X

k=0

mkγⁱ_kψk=0. En évaluant en0, on obtient

∀i∈J0, n−1K,

n−1X

k=0

mkγⁱ_k=0 (S).

Le déterminant de ce système de n équations linéaires àn inconnues est det(V_γ). Ce déterminant est non nul d’après la question précédente. Le système(S)est un système de Cramerhomogène. Le système (S)admet une solution et une seule, à savoir(0, . . . , 0).

Ainsi,∀(m_k)_06k6n−1∈Kⁿ,

n−1X

k=0

mkψk=0⇒∀k∈J0, n−1K, mk=0

!

. Donc, la famille(ψ_k)_06k6n−1est libre.

Partie 2

1)

1.1.Soitf une fonction trois dérivable surRet solution surRde l’équation(E₁). Soitg=f+f^′+f^′′.

gest dérivable surRetg^′=f^′+f^′′+f⁽³⁾=f^′+f^′′+f=g.gest solution surRde l’équation différentielley^′=y.

1.2.Les solutions de (E2)surRsont les fonctions de la formex7→αe^x,α∈R (E2).

1.3.Ainsi, sifest solution de(E₁)surR, alorsfest solution surRd’une équation de la formey^′′+y^′+y=αe^x,α∈C. Soitα∈ C. Résolvons l’équation(E₁^′): y^′′+y^′+y= αe^x. L’équation caractéristique de l’équation homogène associée est :(E_c):z²+z+1=0.(E_c)admet deux solutions distinctes dansC:r1=jetr2=j². Les solutions surRde l’équation homogène associée sont les fonctions de la formex7→βe^jx+γe^j2x, (β, γ)∈C². Une solution particulière de l’équation (E₁^′)surRest x7→α

3e^x. Les solutions de(E₁^′)surRsont les fonctions de la formex7→ α

3e^x+βe^jx+γe^j2x, (β, γ)∈C². Ainsi, toute solution complexe de(E₁)surRest nécessairement de la formex7→αe^x+βe^jx+γe^j2x, (α, β, γ)∈C³. Réciproquement, soitf une telle fonction. Alors,fest trois fois dérivable surRet pour tout réelx,

f⁽³⁾(x) =αe^x+βj³e^jx+γj⁶e^j2x=αe^x+βe^jx+γe^j2x=f(x).

Les solutions complexes de(E₁)surRsont les fonctions de la formex7→αe^x+βe^jx+γe^j2x,(α, β, γ)∈C³. 2)

2.1.Le polynôme caractéristique de Aest

χA=

X −1 0

0 X −1

−1 0 X

=X

X −1

0 X

−

−1 0 X −1

=X³−1= (X−1)(X−j) X−j² .

χ_An’est pas scindé surRet doncAn’est pas diagonalisable dansM₃(R). Par contre,χ_Aest scindé surCà racines simples et doncAest diagonalisable dansM₃(C).

2.2.SoitU1=



 1 1 1



.U16=0et AU1=U1. Donc, U1est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre1.

SoitU2 =



 1 j j²



. AU2=





0 1 0 0 0 1 1 0 0







 1 j j²



=



 j j²

1



=j



 1 j j²



=jU2. Donc,U2 est un vecteur propre de A associé à la valeur proprej.

SoitU₃=



 1 j²

j



. En conjuguant l’égalitéAU₂ =jU₂, on obtient AU₃= j²U₃. Donc,U₃ est un vecteur propre de A associé à la valeur proprej².

SoitP=





1 1 1

1 j j² 1 j² j



. D’après ce qui précède,Pest une matrice inversible telle queP⁻¹AP=diag 1, j, j² .

Soient X : : R→M_3,1(C)une fonction dérivable sur R à valeurs dansM_3,1(C puisY = P⁻¹ de sorte queX =PY. En posantY=



 y1

y2

y3



,

X^′=AX⇔(PY)^′=APY ⇔PY^′=APY⇔Y^′=P⁻¹APY

⇔



 y₁^′ y₂^′ y₃^′



=diag 1, j, j²



 y₁ y₂ y₃



⇔





y₁^′ =y₁ y₂^′ =jy₂ y₃^′ =j²y₃

⇔∃(α, β, γ)∈C³/∀t∈R, Y(t) =



 αe^t βe^jt γe^j2t



⇔∃(α, β, γ)∈C³/∀t∈R, X(t) =





1 1 1

1 j j² 1 j² j







 αe^t βe^jt γe^j2t





⇔∃(α, β, γ)∈C³/∀t∈R, X(t) =







αe^t+βe^jt+γe^j2t αe^t+βje^jt+γj²e^j2t αe^t+βj²e^jt+γje^j2t





.

Les solutions surRdu systèmeX^′=AXsont les fonctions de la formet7→







αe^t+βe^jt+γe^j2t αe^t+βje^jt+γj²e^j2t αe^t+βj²e^jt+γje^j2t





,(α, β, γ)∈C³.

2.3.Soient fune solution de(E₁)surRpuisX=



 f f^′ f^′′



.Xest une fonction dérivable surRet

X^′=



 f^′ f^′′

f⁽³⁾



=



 f^′ f^′′

f



=





0 1 0 0 0 1 1 0 0







 f f^′ f^′′



=AX.

En particulier, il existe (α, β, γ)∈ C³ tel que pour tout t réel,X(t) =







αe^t+βe^jt+γe^j2t αe^t+βje^jt+γj²e^j2t αe^t+βj²e^jt+γje^j2t





 et en particulier, il existe(α, β, γ)∈C³tel que pour touttréel,f(t) =αe^t+βe^jt+γe^j2t. Réciproquement, comme à la question 1.3 de cette partie, de telles fonctions conviennent.

3)

3.1.Pour tout réelx, lim

n→+∞

x³ⁿ

(3n)! =0d’après un théorème de croissances comparées. En particulier, pour tout réelx, la suite

x³ⁿ (3n)!

n∈N

est bornée. On sait alors que le rayon de convergence de la série entière proposée estR= +∞. 3.2.La somme d’une série entière est de classeC^∞ sur son intervalle ouvert de convergence. Donc ici, la fonctionϕ est de classeC^∞ surR.

3.3.De plus, les dérivées successives s’obtiennent par dérivation terme à terme. Donc, pour tout réelx, ϕ^′(x) =

+∞

X

n=1

3n x³ⁿ⁻¹ (3n)! =

+∞

X

n=1

x³ⁿ⁻¹ (3n−1)! =

+∞

X

n=0

x³ⁿ⁺² (3n+2)!.

Ensuite, pour tout réelx,ϕ^′′(x) =

+∞

X

n=0

x³ⁿ⁺¹

(3n+1)! puisϕ⁽³⁾(x) =

+∞

X

n=0

x³ⁿ

(3n)! =ϕ(x).

On en déduit encore que pour tout p∈Net pour tout réelx, ϕ^(3p)(x) =ϕ(x), ϕ^(3p+1)(x) =ϕ^′(x) =

+∞

X

n=0

x³ⁿ⁺² (3n+2)! et ϕ^(3p+2)(x) =ϕ^′′(x) =

+∞

X

n=0

x³ⁿ⁺¹ (3n+1)!. 3.4. 1ère solution.Pourx∈R,

e^x+e^jx+e^j

2x=

+∞

X

k=0

1

k! 1+j^k+j^2k x^k

=3

+∞

X

n=0

x³ⁿ

(3n)! (d’après la question de cours 2.1).

Donc, pour tout réelx, ϕ(x) = 1

3

e^x+e^jx+e^j2x

= 1 3

e^x+e^−12x eⁱ

√3 2 x+e⁻ⁱ

√3 2x

= 1

3 e^x+2e^−12xcos

√3 2 x

!!

.

2ème solution.ϕ⁽³⁾=ϕ. Donc, il existe trois complexesa,betctels que, pour tout réelx,ϕ(x) =ae^x+be^jx+ce^j2x d’après la question 1.3 de cette partie.

Ensuite, les premiers coefficients du développement en série entière deϕ fournissentϕ(0) =1,ϕ^′(0) =ϕ^′′(0) =0. Donc, a, bet c sont solutions du système de la question de cours 2.3. Dans cette question, on a obtenu a=b= c= 1

3 et on retrouve

∀x∈R, ϕ(x) = 1 3

e^x+e^jx+e^j

2x

= 1

3 e^x+2e^−12xcos

√3 2 x

!!

.

3.5.Pour tout réelx,

+∞

X

n=0

x³ⁿ⁺²

(3n+2)! =ϕ^′(x) = 1

3 e^x−e^−12xcos

√3 2 x

!

−√

3e^−12xsin

√3 2 x

!!

.

3.6.Pour tout réel x,ϕ(x) =1+ x³ 3! + x⁶

6! + x⁹

9! +. . . et ϕ(−x) =1− x³ 3! + x⁶

6! − x⁹

9! +. . . En additionnant membre à membre, on obtient pour tout réelx,

θ(x) = 1

2(ϕ(x) +ϕ(−x)) = 1

6 e^x+2e^−12xcos

√3 2 x

!

+e^−x+2e^12xcos

√3 2 x

!!

= 1

3 ch(x) +2chx 2

cos

√3 2 x

!!

.

Partie 3

1)

1.1.y⁽ⁿ⁾=

n−1X

k=0

aky^(k)⇔













 y^′ y^′′

... y⁽ⁿ⁻¹⁾

y⁽ⁿ⁾















=

















0 1 0 . . . 0 0 0 1 . .. ... ... . .. ... 0 0 . . . 0 1 a₀ a₁ . . . a_n−1





























 y y^′ ... y⁽ⁿ⁻²⁾ y⁽ⁿ⁻¹⁾















⇔Y^′ =AαY.

1.2.Soityun élément deS_α. Montrons par récurrence que pour toutp>n, yest pfois dérivable surR.

• yest nfois dérivable surR.

• Soitp>n. Supposonsy pfois dérivable surR. Alors, pour toutk∈J0, n−1K, y^(k)est dérivablep− (n−1)fois surR(au moins) puisy⁽ⁿ⁾ est dérivablep−n+1fois surRou encoreyest dérivablep+1fois surR.

On a montré par récurrence que pour toutp∈N, yestpfois dérivable surR. Donc,yest de classeC^∞ surR. 1.3.S_α ⊂C^∞(R,K)d’après la question précédente.0∈S_α et si(f, g)∈S²

α et (λ, µ)∈K², alors (λf+µg)⁽ⁿ⁾=λf⁽ⁿ⁾+µg⁽ⁿ⁾=λ

n−1X

k=0

akf^(k)+µ

n−1X

k=0

akg^(k)=0,

puisλf+µg∈S_α. On a montré queS_α est un sous-espace vectoriel deC^∞(R,K).

1.4.Soit Φ : S_α → Kⁿ

y 7→ y(0), y^′(0), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(0)

.Φ est une application linéaire et Φest bijective d’après le théo- rème deCauchyrappelé à la question de cours 1. Donc, Φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On en déduit que dim(S_α) =dim(Kⁿ) =n.

2)Si α= (1, 0, . . . , 0),(E_α)s’écrity⁽ⁿ⁾=y.

3)Pourr∈C, notonsϕ_r : x7→e^rx. Soitr∈C.(ϕ_r)⁽ⁿ⁾=ϕ_r⇔rⁿϕ_r=ϕ_r⇔rⁿ =1 (carϕ_r6=0).

L’équationzⁿ =1 admet nsolutions deux à deux distinctes dans C, à savoir les nombresγ_k =e^2ikπn , k∈J0, n−1K et ϕ_r∈S_α⇔r∈{γ_k, k∈J0, n−1K}.

4) Chacune desn fonctionsψ_k : x7→e^γkx,k ∈J0, n−1K, est un élément de S_α. D’autre part, puis les nombresγ_k, k ∈ J0, n−1K, sont deux à deux distincts, la famille (ψ₀, ψ₁, . . . , ψ_n−1) est une famille libre de l’espace vectoriel S_α d’après la question 3.2 de la partie 1.

Puisque card(ψ0, ψ1, . . . , ψn−1) =n=dim(S_α)<+∞,(ψ0, ψ1, . . . , ψn−1)est une base deS_α. 5)

5.1.La dérivation est linéaire. D’autre part, siy∈S_α, (y^′)⁽ⁿ⁾=

y^(n)′

=y^′ et doncd(y) =y^′ ∈S_α. Donc,d∈L (S_α).

5.2. Soit y ∈ S_α. y ∈ Ker(d) ⇒ y^′ = 0 ⇒ y⁽ⁿ⁾ = 0 ⇒ y = 0 (car y(n) = y). Donc, Ker(d) = {0}. Puisque dim(S_α)<+∞, on en déduit qued∈GL(S_α).

5.3.Une base deS_α est(ψ₀, ψ1, . . . , ψn−1). Pour tout k∈J0, n−1K,d(ψ_k) =γkψk. (ψ₀, ψ1, . . . , ψn−1)est donc une base deS_α constituée de vecteurs propres ded. On en déduit quedest diagonalisable.

Partie 4

1) Soit (f, g) ∈ (S_α)². Puisque les éléments de S_α ⊂ C^∞(R,R), la fonction t 7→ e^−3|t| f(t)g(t) +f^(p)(t)g^(p)(t) est continue sur R. De plus, f et g sont dans S_α et donc f^(p) et g^(p) sont dans S_α d’après la question 5 de la partie précédente. D’après le résultat admis par l’énoncé,

e^−3|t|

f(t)g(t) +f^(p)(t)g^(p)(t)

t→=+∞

e^−3t O e^t O e^t

+O e^t

O e^t

t→=+∞

e^−3tO e^2t

t→=+∞O e^−t

t→=+∞o 1

t²

.

De même, e^−3|t| f(t)g(t) +f^(p)(t)g^(p)(t)

t→=−∞

o 1

t²

. La fonction t 7→ e^−3|t| f(t)g(t) +f^(p)(t)g^(p)(t)

est donc intégrable surR. On en déduit l’existence de(f|g).

2)•D’après la question précédente, (|)est une application deS²

α dansR.

•Soit(f, g)∈(S_α)².(f|g) = Z+∞

−∞

e^−3|t|

f(t)g(t) +f^(p)(t)g^(p)(t) dt=

Z+∞

−∞

e^−3|t|

g(t)f(t) +g^(p)(t)f^(p)(t)

dt= (g|f).

Donc,(|)est symétrique.

•Soient (f₁, f₂, g)∈(S_α)³et (λ, µ)∈R².

((λf₁+µf2)|g) =

Z+∞

−∞

e^−3|t|

(λf₁(t) +µf2(t))g(t) +

λf^(p)₁ (t) +µf^(p)₂ (t)

g^(p)(t) dt

=λ Z+∞

−∞

e^−3|t|

f1(t)g(t) +f^(p)₁ (t)g^(p)(t) dt+µ

Z+∞

−∞

e^−3|t|

f2(t)g(t) +f^(p)₂ (t)g^(p)(t) dt (combinaison linéaire d’intégrales convergentes)

=λ(f₁|g) +µ(f₂|g).

Donc,(|)est linéaire par rapport à sa première variable puis bilinéaire par symétrie.

•Soitf∈S_α.(f|f) = Z+∞

−∞

e^−3|t|

f²(t) + f^(p)2

(t)

dt>0et de plus

(f|f) =0⇒ Z+∞

−∞

e^−3|t|

f²(t) + f^(p)2

(t)

dt=0

⇒∀t∈R, e^−3|t|

f²(t) + f^(p)2

(t)

=0(fonction, continue, positive, d’intégrale nulle)

⇒f²+ f^(p)2

=0⇒f²=0(somme nulle de deux réels positifs)

⇒f=0.

Donc,(|)est définie, positive.

En résumé, ( | ) est une application forme bilinéaire, symétrique, définie, positive sur S_α et donc ( | ) est un produit scalaire surS_α.

3)Soit(f, g)∈S₁×S₂. (f|g) =

Z+∞

−∞

e^−3|t|

f(t)g(t) +f^(p)(t)g^(p)(t) dt=

Z+∞

−∞

e^−3|t|(f(t)g(t) +f(t)(−g(t)))dt=0.

Donc,S₂⊂S^⊥₁. De plus, d’après la question 1.4 de la partie 3, dim(S₂) =p=2p−p=dim(S_α) −dim(S₁) =dim S^⊥₁

<

+∞. On en déduit queS₂=S^⊥₁. 4)

4.1.Pour x∈R,f⁽⁴⁾(x) =

+∞

X

k=1

(4k)(4k−1)(4k−2)(4k−3)

(4k)! x^4k−4=

+∞

X

k=1

1

(4(k−1))!x^4(k−1)=

+∞

X

k=0

1

(4k)!x^4k=f(x). Donc, f⁽⁴⁾=f.p=2et α= (1, 0, 0, 0)conviennent.

4.2.Soitf1 : x7→ 1 2

+∞

X

n=0

x²ⁿ (2n)! = 1

2ch(x)etf2 : x7→ 1 2

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ (2n)! = 1

2cos(x).

Pour tout réelx, f₁(x) +f₂(x) =

+∞

X

n=0

1+ (−1)ⁿ 2

x²ⁿ (2n)! =

+∞

X

n=0

x⁴ⁿ

(4n)! =f(x). De plus, f₁∈S₁ et f₂∈S₂=S^⊥₁. Par unicité de la décomposition, le projeté orthogonal de f sur S₁ est f₁ : x 7→ 1

2ch(x) et le projeté orthogonal de f sur S₂ est f₂ : x7→ 1

2cos(x).

4.3.Pour tout réelx, f(x) = 1

2(ch(x) +cos(x)).