Question de cours.

Universit´ e Paris Dauphine, L3, Ann´ ee 2014-2015

Rattrapage d’Analyse Complexe

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Toutes les r´ eponses doivent ˆ

etre soigneusement justifi´ ees ; la correction r´ ecompensera la rigueur, pr´ ecision et clart´ e des d´ emonstrations.

Question de cours.

1. Donner la d´ efinition de l’indice d’un point z par rapport ` a une courbe γ .

2. Donner sans d´ emonstration la formule d’Hadamard donnant le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere P

a _n z ⁿ .

3. Donner la d´ efinition d’une fonction analytique sur un ouvert U de C.

Exercice 1. Soit E = C \{(2n + 1)iπ, n ∈ N } et f : E → C donn´ ee par f(z) = _e

^e +1

. 1. a) Montrer que f est d´ efinie et analytique sur E.

b) f est elle holomorphe sur E ? 2. a) f est elle injective ?

b) Montrer que h : C ^∗ → h : C d´ efinie par h(z) = _z+1 ^z est surjective de C ^∗ dans C \{0, 1}.

c) En d´ eduire que f est surjective de E dans un ensemble ` a d´ eterminer.

3. a) Montrer que f est m´ eromorphe sur C et donner ses pˆ oles.

b) D´ eterminer l’ordre de chaque pˆ ole et le r´ esidu de f en ce pˆ ole.

c) Soit r ∈ R \{(2n + 1)π, n ∈ N } et γ _r (t) = re ^it d´ efinie sur [0, 2π]. Calculer R

γ

f (z)dz en fonction de r.

Exercice 2. Calculer R +∞

0 dt

1+t

. On pourra consid´ erer la fonction f : z → _1+z ¹

, le chemin γ _R constitu´ e du segment r´ eel [−R, R] et du demi cercle sup´ erieur de centre 0 et de rayon R (le tout 1 fois et dans le sens direct), et l’int´ egrale de f le long de γ R .

Exercice 3. Dans chacun des cas, d´ eterminer toutes les fonctions holomorphes sur C v´ erifiant l’´ egalit´ e pour tout entier n ∈ N ^∗ .

1. f ₁ ( _n ¹ ) = e ^1/n 2. f ₂ (e ^1/n ) = _n ¹ 3. f ₃ ( _n ¹ ) = (−1) ⁿ e ^1/n 4. (f ₄ ( ¹ _n )) ³ = 1.

Exercice 4. On consid` ere la s´ erie enti` ere g(z) = P +∞

n=0 (n ² + n + 1)z ⁿ 1. D´ eterminer son rayon de convergence R.

2. Trouver des r´ eels a et b pour lesquels n ² + n + 1 = (n + 2)(n + 1) + a(n + 1) + b pour tout entier n. En d´ eduire la valeur de g ` a l’int´ erieur du disque de convergence.

3. Pour quels points du bord du disque de convergence la s´ erie converge t-elle ?

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