D103-La chèvre de Monsieur Poincaré. Solution Soit O le centre et r le rayon du pré circulaire. Le piquet est à un point P de la circonférence et

D103-La chèvre de Monsieur Poincaré.

Solution

Soit O le centre et r le rayon du pré circulaire. Le piquet est à un point P de la circonférence et l’arc de cercle décrit par la chèvre avec la corde de longueur x coupe cette même

circonférence en A et B. Soit 2*a l’angle APB. Comme le montre le graphique ci-après la surface SU broutée par la chèvre attachée au piquet P par une corde de longueur x est délimitée par le contour vert :

SU = 2*[aire(secteur(APQRA)) + aire(secteur(AOPSA)) - aire(triangle(APO)]

Or aire(secteur(APQRA)) = x a/2 = ² x a/2 , aire (secteur(AOPSA)) = ² r .( - 2a) / 2 ²

= r .( - 2a)/2 et aire AOP=² r cos(a)sin(a). ²

On a donc l’équation (E): x a + ² r ( - 2a) - 2² r .cos(a)sin(a) = ² πr²/2. Par ailleurs x =AP = 2*PH = 2rsin(π/2-a) = 2rcos(a).

(E) s’écrit 8ar .² cos²(a) + 2( - 2a)r - 4² r .cos(a)sin(a) = ² r et après simplification se ² réduit à l’équation transcendante: sin(2a) – 2acos(2a) = /2

dont une solution approchée (obtenue par exemple sur tableur) est 2a = 1,90569..radian = 109,188..° . D’où x = 1,1587..r . le coefficient 1,1587… est très proche de 2/ 3 1,15470.... On en déduit la relation approchée PC 2/ 3OP le triangle OPC est un demi triangle équilatéral avec angle OCP = 60°.

La longueur de la corde est donc obtenue de manière simple en choisissant le point C sur l’axe des abscisses tel que OC = OP/ 3 .