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D145. Une rencontre du cˆot´e de chez Euler

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Academic year: 2022

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D145. Une rencontre du cˆ ot´ e de chez Euler

Note pr´eliminaire: dans ABC, les pieds des hauteurs sont Ha, Hb, Hc et les milieux des cot´es sontMa,Mb etMc.

Il s’agit de montrer que les droites AB,t tangente en C au cercleΓ , etr axe radical des cerclesγ(cercle d’Euler) etϕ(de diam`etre JC o`u J est le centre de γ) sont concourantes en Z.

Prouvons pour cela que l’intersection de AB et det a mˆeme puissance par rap- port `aγ et `aϕ.

t recoupe Γen D. On aura

ZHc×ZMc =ZX×ZY =ZC×ZD

si le quadrilat`ere HcMcCD est inscriptible dans un cercle.

Soit E l’intersection des m´ediatrices deHcMc etCHc. CK ⊥CD etDJ ⊥CD (CJ est un diam`etre deϕ).

G centre de gravit´e de ABC est le centre de l’homoth´etie de rapport -1/2 qui transforme Γenγ,K enJ et C enMc, donc aussi le droiteCK en la droite DJ.

Il en r´esulte queMc est sur DJ, donc que la m´ediatrice deCD passe par le milieu E deCMc. HcMcCDest inscrit dans un cercle. C.Q.F.D.

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