D145 Une rencontre du côté de chez Euler

D145 Une rencontre du côté de chez Euler Solution proposée par Pierre Renfer

1) Equation du cercle circonscrit

Soit P le point de coordonnées barycentriques ( , , )x y z , avec : x y z  1 . Soit  la fonction scalaire de Leibniz définie par : ( )M xMA²yMB² zMC² . Alors : ( )M MP²(P) , pour tout point M.

En particulier :

 

 

 

( ) (

( (

( ) (

A yc zb AP P)

B) za xc BP P)

C xb ya CP P)

   

   

   







2 2 2

2 2 2

2 2 2

En multipliant les trois lignes par x,y,z respectivement, puis en additionnant , on obtient :

(P)a yz b zx c xy²  ²  ²

Si O et R désigne respectivement le centre et le rayon du cercle circonscrit :

( )O R² OP²(P)

Donc P appartient au cercle circonscrit si et seulement si (P)0 . L'équation de ce cercle est donc :

a yz b zx c xy²  ²  ² 0

2) Forme de l'équation d'un cercle quelconque

Un cercle est une conique passant par les points cycliques.

Comme la droite de l'infini a pour équation x y  z 0 , l'équation d'un cercle peut se mettre sous la forme :

 

4 a yz b zx c xy²  ²  ²    (x y z ux vy wz)(   )0 ( où u,v,w sont trois constantes ).

3) Equation du cercle d'Euler

Les milieux des côtés ont pour coordonnées barycentriques respectivement :

0 1 1

, 1

0 1

, 1 1 0

Il faut déterminer u,v,w pour que les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation du cercle :

v w a

w u b

u v c

 

 

 







2 2 2

2 2 2

On trouve :

u a b c

v a b c

w a b c

   

  

  







2 2 2

2 2 2

2 2 2

L'équation du cercle d'Euler s'écrit alors :



 

 



4) Equations des droites

La droite (AB) a pour équation : z0

La tangente en C au cercle  est la polaire de C par rapport à . Son équation s'écrit donc :

0 y a x b 0 0 1 0 a b

a 0 c

b c 0 ) z , y , x

( ^{2 2}

2 2

2 2

2 2









































La tangente en C au cercle  est la polaire de C par rapport à . Son équation s'écrit donc :

0 z ) c b a ( y a x b 0 0 1 c b a a

b

a c

b a c

b c

c b a ) z , y , x

( ^{2 2 2 2 2}

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2













































































On trouve facilement les coordonnées du point Z commun aux trois droites : 0

b - a Z ²

2