Enonc´e noD245 (Diophante) Des cercles dans un carr´e
Dans un carr´e de cˆot´e 80, je trace des cercles dont la longueur totale des circonf´erences est ´egale `a 2008. Montrer qu’il existe une droite qui coupe au moins 8 d’entre eux.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin SoitOx un axe parall`ele `a un cˆot´e du carr´e.
Le carr´e se projette sur Oxselon un segment S de longueur 80.
Pour chaque point (d’abscisse x) de ce segment, je d´efinis f(x) comme le nombre de cercles dont la projection surOx contient ce point.
Un cercle de longueur li se projette sur Ox selon un segment de longueur li/π´egale au diam`etre. Sur ce segment il contribue pour une unit´e `a f(x), et donc pour li/π`a l’int´egrale RSf(x)dx.
Ajoutant ces contributions, RSf(x)dx = 2008/π et la valeur moyenne de f(x) surS est 2008/(80π) = 25,1/π >7.
Commef(x) ne prend que des valeurs enti`eres, sa valeur moyenne serait au plus 7 si elle ne prenait pas de valeur ≥ 8. Il existe donc des abscisses x o`u f(x)≥ 8. Une droite perpendiculaire `a Ox `a cette abscisse r´epond `a la question.
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