A20251. De 2007 ` a 2008
Etant donn´e un nombre entierN, de combien de fa¸cons peut-on le repr´esen- ter comme somme d’entiers positifs cons´ecutifs ?
Application :N = 2007,N = 2008.
Solution
La somme de tous les entiers de a`ab est N = (a+b)(b−a+ 1)/2.
Ainsi a+b et b−a+ 1 sont deux facteurs de parit´e contraire ayant pour produit 2N,a+b´etant le plus grand. Si iest le plus grand diviseur impair de N, 2N/i =dest une puissance de 2, et `a chaque d´ecomposition de ien produituv correspond une d´ecomposition de 2N = (du)(v), soit
a+b= max(du, v);b−a+ 1 = min(du, v), puis a= (|du−v|+ 1)/2;b= (du+v−1)/2.
Ainsi 2008 = 23·251 n’a que 2 d´ecompositions, pour u= 1 etu= 251 : 118 +. . .+ 133, not´e [118..133], et 2008 tout seul.
Alors que 2007 = 32·223 en a 6, pour u= 1,3,9 et leurs produits par 223 : [1003..1004], [332..337], [103..120], [219..227],
[668..670], et 2007 tout seul.
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