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D1810. Le merveilleux arc bris´e en tiers-point

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Academic year: 2022

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(1)

D1810. Le merveilleux arc bris´ e en tiers-point

La droiteOB recoupeΓenD. Ce point appartient aussi `a Γq:

QD2=QC2+CD2= (BC

3 )2+r2= (2×BC 3 )2

Donc BD est l’axe radical de Γ et de Γq, et O a mˆeme puissance −r2 par rapport aux 3 cercles.

Lest le sym´etrique deOpar rapport `aBC, etGcelui deS. PosonsOS =x.

AS×AG= (r−x)×(2r+x) =AF ×AC = 1

3BC2= r2

D’o`u OS= r

√5−1

2 (le nombre d’or) etAS =r3−√ 5 2 OS

AS =

√5−1 3−√

5

1

(2)

Les droitesF DetAF sont sym´etriques par rapport `aOP bissectrice deDOA,\ donc aussi S etI, etOF =OI. Comme\RIO = 30o, on aOR= OS

2 .

cos (AON\) =

√5−1

4

AON\ = 72o. Il s’agit d’un pentagone r´egulier.

2

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