Enonc´e noD323 (Diophante) Non fiat lux
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1) Comment cacher un point lumineux de l’espace avec le minimum de boules pleines assimil´ees `a des sph`eres parfaites ? Existe-t-il une solution avec toutes les boules ayant des rayons entiers dans laquelle la plus grande boule a le plus petit rayon possible ?
Il faut au moins 4 boules pour masquer le point lumineux `a tout l’espace ext´erieur.
En effet, le cˆone d’ombre d’une boule ext´erieure au point lumineuxO a un demi-angle au sommet inf´erieur `aπ/2. Sa trace sur une sph`ere centr´ee enO est plus petite qu’un grand cercle ; un grand cercle ayant pour l’axe l’axe de ce cˆone sera couvert pour moins de moiti´e par l’ombre de toute autre boule, il faudra donc au moins 3 boules de plus pour que l’ombre couvre ce grand cercle.
Quatre boules suffisent.
Soit en effet un t´etra`edre r´egulier centr´e au point lumineux O. Les cercles circonscrits `a ses faces sont les bases de cˆones de sommet O, et je place 4 boules de sorte qu’elles aient ces cˆones comme cˆones des tangentes men´ees de O. Sauf peut-ˆetre les demi-droites joignantO aux sommets du t´etra`edre (je reviendrai sur ce point), tout rayon issu de O rencontre l’une ou l’autre des boules et s’y arrˆete, car il rencontre l’une ou l’autre des faces du t´etra`edre
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a l’int´erieur de son cercle circonscrit.
Les axes des cˆones sont les demi-droites oppos´ees aux demi-droites joignant O aux sommets du t´etra`edre, et font entre eux un angle de arccos(−1/3).
Le demi-angle au sommet des cˆones est arccos(1/3).
Les boules devant ˆetre ext´erieures les unes aux autres, il en r´esulte une relation entre leurs rayons. SoitAetB les centres de deux boules, de rayons r etR. Ces boules s’inscrivent dans les cˆones d´efinis ci-dessus, donc
OA/r=OB/R= 1/sin(arccos(1/3)) = 3/√
8, et (OA, OB) = arccos(−1/3).
Je suppose de plus ces boules assez proches pour ˆetre tangentes entre elles, d’o`uAB=r+R.
La relation d’Al-Kashi dans le triangle OAB donne alors r2+R2−10rR= 0, d’o`u siR > r
R/r= 5 + 2√
6 = 9,89897. . . <980/99<99/10<10.
J’inscris dans les 4 cˆones quatre boules de rayons respectifs 1, 10, 99, 980.
Elles ne se touchent pas, les in´egalit´es ci-dessus ´etant strictes. Je peux rap- procher deO la 2e, la 3e et la 4e jusqu’`a ce qu’elles touchent la pr´ec´edente, ce qui ´elargit quelque peu leurs cˆones d’ombre qui contiennent alors les demi-droites joignantO aux sommets du t´etra`edre.
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Le probl`eme peut donc ˆetre r´esolu avec 4 boules de rayon entier ne d´epassant pas 980.
Question 2) Un point lumineux du plan est situ´e `a l’int´erieur d’un polygone de n cˆot´es. Aucun de ces cˆot´es n’est ´eclair´e dans sa totalit´e. Quelle est la plus petite valeur de nqui satisfait cette propri´et´e ?
Je construis un hexagone non convexe r´epondant `a la question de la fa¸con suivante.
Je pars d’un triangle ´equilat´eral A1A2A3 centr´e au point lumineux O. Sur chaque cˆot´e AiAi+1 (i = 1 `a 3, A4 confondu avec A1), et `a l’ext´erieur du triangle ´equilat´eral, je construis un triangle AiBiAi+1 dont l’angle Ai est compris (strictement) entre 5π/6 et π.
L’hexagone A1B1A2B2A3B3 r´epond `a la question : les cˆot´es AiBi ne sont pas ´eclair´es (car l’angle OAiAi+1 = π/6), et portent ombre sur les cˆot´es BiAi+1.
Le probl`eme ne me semble pas possible avec moins de 6 cˆot´es.
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