D1810 - Le merveilleux arc brisé en tiers-point

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D1810 - Le merveilleux arc brisé en tiers-point Problème proposé par Thérèse Eveilleau

Soit ABC un triangle équilatéral inscrit dans un cercle ((Γ). Les points P et Q partagent le côté BC en trois segments égaux BP, PQ et QC. L'arc de cercle de centre P et de rayon PC coupe son homologue de centre Q et de rayon QB en un point S, sommet de l'arc brisé en tiers-point BSC, situé du même côté que A par rapport à BC.

Soit O le sommet du triangle équilatéral de base PQ situé du même côté que S par rapport à AB. La droite BO coupe l'arc CS au point I et la droite CO coupe l'arc BS au point J. La droite IJ coupe le cercle (Γ) aux points M et N.

Calculer le ratio SO/SA et démontrer que la corde MN est diagonale d'un polygone régulier remarquable inscrit dans le cercle (Γ).

Source: Hugues Libergier, architecte rémois (1229 - 1263), bâtisseur de cathédrales.

Solution

Calcul de SO/SA

Posons AB = 1

BC = 1 SP = PB = 2/3 PH = 1/6

OH =1/3 ( ) =

Dans le triangle rectangle SPH avec Pythagore nous trouvons SH² = PH² – SP² soit SH² = 4/ 9 – 1/36 = 15/36

SH =

Par ailleurs, SO = SH – OH donc

SO =(relation *) SA =AH – SH donc

SA =

Ainsi le calcul donne

SO / SA = c'est le nombre d'or



Il s'ensuit avec les propriétés du nombre d'or que OA / SO = 

soit encore SO = OA / 

relation **)



(2)



Montrons que OI = OS et donc que W est le milieu de OS

Notons que HQ = 1/ 6 et OH = impliquent que le triangle OHQ est demi-équilatéral et donc que l'angle IOQ est égal à 150° i.e (120+30).

Dans le triangle IOQ avec Al Kashi, nous avons IQ² = OI² + OQ² – 2 OI * OQ * cos(150°) (relation ***) Posons x = OI avec x>0

Notons que cos(150°) =- cos (30°) = - et QI = QC = 2/3

La (relation ***) précédente devient :

x² - 2 x+ 1/9 - 4/9= 0

dont la solution positive est x =

Donc OI =

Avec la relation (relation *), ceci montre que OI = OS et ainsi dans le triangle isocèle SIO que W est le milieu de OS,

Dans le triangle rectangle OWN

avec Pythagore, et avec la



(relation **) :

SO = OA / 

nous obtenons,

WN² = ON² - OW² = ON² – (OS/2)² = ON² – ¼ OA²/



²

On va utiliser



² =



+ 1 Et 1/



=



WN² = OA² – ¼ OA²/



² = OA² [ 1 – 1/(4



²) ] = OA² [4 - (



- 1 )² ] / 4 WN² = OA² [4 -



² - 1 + 2



] / 4

WN² = OA² [3 -



- 1 + 2



] / 4 WN² = OA² [2 +



] / 4

Comme MN = 2 WN MN² = OA² (2 +



)

(MN / OA )² = 2 +



qui donne

MN / OA =

Cette relation donne bien le rapport de la mesure de longueur de la diagonale du

pentagone régulier sur le rayon du cercle qui circonscrit le pentagone.