Lycée Bellevue TRIGONOMÉTRIE 1ère spé maths
I REPÉRAGE SUR UN CERCLE(VIDÉO1) 1 CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le plan est muni d’un repère orthonormal¡ O;~ı,~¢
Le cercle trigonométrique est le cercleC de centre O, de rayon 1 orienté
dans le sens direct. O I
J
#»i
#»j
C
+
2 ENROULEMENT DE LA DROITE RÉELLE SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Le plan est muni d’un repère orthonormal¡ O;~ı,~¢
La droiteDest tangente enIau cercle trigonométriqueC.
Aest le point de coordonnées (1; 1). La droiteDest munie du repère (I;A).
Par enroulement de la droite réelleDsur le cercle trigonométriqueC :
— à tout point de la droite d’abscissexon peut associer un unique pointM du cercle trigonométrique, image du réelx;
— tout point M du cercle trigonométrique est l’image d’une infinité de réels. Si le pointMest associé à un réelx, alors il est associé à tout réel de la formex+k×2πoùkest un entier relatif.
O I
J
#»i
#»j
b
D
A
1
x
M
C
3 MESURE D’UN ANGLE EN RADIAN DÉFINITION
SoitC le cercle trigonométrique de centre O, de rayon 1.
Un radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte le cercle C
suivant un arc de longueur 1. O I
J
#»i
#»j
M
1 rad
REMARQUE:
Les mesures en radians et en degrés d’un angle géométrique sont proportionnelles :
Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°
xen radians 0 π
6
π 4
π 3
π 2
2π
3 π
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VALEURS REMARQUABLES
O I
J
π 4 3π
4
−3π
4 −π
4 π 6 5π
6
−5π
6 −π
6 π
3 2π
3
−2π
3 −π
3 π
2
π
−π 2
II COSINUS ET SINUS D’UN NOMBRE RÉEL(VIDÉO2) 1 DÉFINITION
SoitMle point du cercle trigonométrique associé à un réelx.
— Le cosinus du réelx, noté cosx, est l’abscisse du pointM.
— Le sinus du réelx, noté sinx, est l’ordonnée du pointM.
O I
J
M
cosx sinx
x
2 PROPRIÉTÉS
— Pour tout réelxet pour tout entier relatifk, cos (x+k×2π)=cosxet sin (x+k×2π)=sinx
— Pour tout réelx,−1ÉcosxÉ1 et−1ÉsinxÉ1
— Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1
EXEMPLE:
Sachant que sinx= − p5
3 avec−π
2 <x<0, déterminer la valeur exacte de cosx.
Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1 donc cos2x+5
9=1, soit cos2x=4 9. Il existe deux valeurs possibles du cosinus :
cosx= −2
3 ou cosx=2
3 Comme−π
2 <x<0, alors cosx>0 donc cosx=2 3.
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3 VALEURS REMARQUABLES
x 0 π
6
π 4
π 3
π 2
cosx 1
p3 2
p2 2
1
2 0
sinx 0 1
2
p2 2
p3
2 1
O
π 6
p3 2 1
2
π 4
p2 2 p2
2
π 3
1 2 p3
2
π
1 2
1
4 ANGLES ASSOCIÉS
Pour tout réelx: cos (−x)=cosx
sin (−x)= −sinx
O I
J
M
N
x
−x
MetNsont symétriques par rapport à (OI)
Pour tout réelx: cos (π−x)= −cosx
sin (π−x)=sinx
O I
J
M N
x π−x
MetN sont symétriques par rapport à (O J)
Pour tout réelx: cos (π+x)= −cosx
sin (π+x)= −sinx
O I
J
M
N
x π+x
MetN sont symétriques par rapport àO
EXEMPLES: 1. cos4π
3 =cos³ π+π
3
´
= −cosπ 3 = −1
2 2. sin3π
4 =sin³ π−π
4
´
=sinπ 4 =
p2 2 5 ÉQUATIONS
— Équationcosx=cosa
Soitaun réel donné. Les solutions dansRde l’équation cosx=cosa sont :
(x =a+k×2π
x = −a+k×2πoùkest un entier relatif. O I
J
M(a)
N(−a) cosa
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— Équationsinx=sina
Soitaun réel donné. Les solutions dansRde l’équation sinx=sina sont :
(x =a+k×2π
x =π−a+k×2πoùkest un entier relatif.
O I
J
M(a) N(π−a)
sina
EXEMPLES:
1. Résoudre dansRl’équation cosx= p3
2 Comme cosπ
6= p3
2 l’équation est équivalente à l’équation cosx=cosπ 6
O I
J
π 6
−π 6
cosπ 6
Les solutions dansRde l’équation cosx= p3
2 sontx=π
6+k×2πoux= −π
6+k×2πaveckentier relatif.
2. Résoudre dansRl’équation sinx=sin7π 10.
O I
7π J
10 π−7π
10
sin7π 10
Les solutions dansRde l’équation sinx=sin7π
10 sontx=7π
10+k×2πoux=3π
10+k×2πaveck entier relatif.
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