DÉRIVATION
I TAUX DE VARIATION
1 INTRODUCTION:
1. On notef la fonction définie surRparf(x)=2(x−3)2+1.
On noteAle point deCf d’abscisse 2 etBle point deCf d’abscisse−1.
Calculer l’équation de la droite (AB).
2. On notef la fonction définie surR∗parf(x)=−3x+1 x2 .
On noteAle point deCf d’abscisse 2 etBle point deCf d’abscisse−1.
Calculer l’équation de la droite (AB).
2 DÉFINITION
On nomme f une fonction définie surI etCf sa courbe représentative dans (O,~i,~j).
On nommeA(xA;yA) etB(xB;yB) deux points deCf
0 x
y
~i
~j
b
xB f(xB)
xA f(xA)
B A
On sait que le coefficient directeur de la droite (AB) est donné par la relation : m=yB−yA
xB−xA
. Ce coefficient mesure la pente de la droite (AB). On s’intéresse à ce coefficient, mais "traduit" en langage de fonction :
CommeyB=f(xB) etyA=f(xA), en posant :xA=aetxB=b, il vient : yB−yA
xB−xA = f(b)−f(a) b−a On note ce coefficient,taux de variationdef entreaetb.
On le note :
τ= f(b)−f(a) b−a 3 PROPRIÉTÉ
Le taux de variation def entreaetbest le coefficient directeur de la droite (AB).
4 EXEMPLES
On notef la fonction définieRparf(x)=5x2−6x+7.
Calculer le taux de variation def entre 3 et -2.
II NOMBRE DÉRIVÉE
1 INTRODUCTION:
On cherche maintenant à savoir ce qui se passe si on rapproche le pointB vers le A jusqu’à ce qu’ils se superposent.
On remarque que lorsqu’on rapprocheBdeAla droite (AB) se rapproche de la tangente à la courbeC{au point d’abscissea.
LorsqueBest très très proche de Aalors la droite (AB) est confondue avec la tangente à la courbeC{au point d’abscissea.
Comment traduire cela de façon mathématiques?
On traduit donc de la façon suivante :
Le coefficient directeur de la tangente à la courbeC{au point d’abscisseaest le taux de variation def entre aetblorsqueBse rapproche deA.
On noteb=a+h, l’abscisse du pointB.
Pour traduire que le pointBest tout proche de A, on va donc dire quehtend vers 0. ( car sihtend vers 0, alorsa+htend versa).
Il faut donc calculer le taux de variation def entrea+hetalorsquehtend vers 0.
Orτ= f(a+h)−f(a)
a+h−a = f(a+h)−f(a)
Le coefficient directeur de la tangente à la courbeh Cf au point d’abscisseaest :
m=lim
h→0
f(a+h)−f(a) h 2 DÉFINITION:
Soitf une fonction définie sur un intervalleI deRetaun réel appartenant àI. Lorsque le rapport f(a+h)−f(a)
h admet une limite réelle quandhtend vers 0 (aveca+hrestant dans I), on dit que la fonction f est dérivable ena et cette limite réelle, notée f′(a), est appelée le nombre dérivé de f ena.
On notef′(a) le nombre :
f′(a)=lim
h→0
f(a+h)−f(a) h 3 AUTRE FORMULATION,EN POSANTx=a+h
Soitf une fonction définie sur un intervalleI deRetaun réel appartenant àI. Lorsque le rapport f(x)−f(a)
x−a admet une limite réelle quandxtend versaen restant dansI, on dit que la fonctionf est dérivable enaet cette limite réelle, notéef′(a), est appelée le nombre dérivé def ena.
On note alors :
f′(a)=lim
x→a
f(x)−f(a) x−a
4 APPLICATION
Soitf :x7→x2définie surR. Calculerf′(2) f′(2)=lim
h→0
(2+h)2−(2)2
h =lim
h→0
4+4h+h2−4
h =lim
h→0
4h+h2 h =lim
h→04+h=4 doncf′(2)=4
Soitg:x7→1
x définie surR∗. Calculerg′(−1)
hlim→0
g(−1+h)−f(−1)
h =lim
h→0
1
−1+h+1 h =lim
h→0
1
−1+h+−1+h h
h =lim
h→0
h
−1+h h donc lim
h→0
h
−1+h×1 h =lim
h→0
1
−1+h = −1 doncg′(−1)= −1 Soith:x7→p
xdéfinie surR+. Calculerh′(3) h′(3)= lim
h→0
p3+h−p 3
h = lim
h→0
(p
3+h−p 3)(p
3+h+p 3) h(p
3+h+p
3) lim
h→0
h(3+h)−(3) h(p
3+h+p
3) =lim
h→0
h h(p
3+h+p 3) =
hlim→0
p 1
3+h+p 3= 1
2p
3donch′(3)= 1 2p 3 5 TANGENTE À UNE COURBE
DÉMONSTRATION DE LA DÉTERMINATION DE L’ÉQUATION DE LA TANGENTE(DÉMONSTRATION FONDAMENTALE)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
La droite (T) passant par le point A¡
a;f(a)¢
de la courbeCf et de coefficient directeurf′(a) est appelée la tangente à la courbeCf au point d’abscissea
0 x
y
~i
~j
b
a
f(a) A
On cherche à connaître l’équation de la tangente (T) àCf ena.
On sait que l’équation est de la forme (T) :y=mx+pavec :m=f′(a) . SoitM(x;y) un point de la tangente (T) etA¡
a;f(a)¢
le point de la courbe d’abscisseaqui appartient aussi à la tangente (T).
On sait quem= YM−YA
XM−XA =y−f(a) x−a On a alors :
m=y−f(a)
x−a =f′(a) Il vient avec un produit en croix que :
y=f′(a)(x−a)+f(a)
Ce n’est ni une équation réduite ni cartésienne de la tangente mais cette forme est assez pratique, donc on conserve cette forme pour l’équation de (T) est (T) :y=f′(a)(x−a)+f(a)
PROPRIÉTÉ
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a oùa est un réel deI, etCf sa courbe représentative dans un repère du plan.
L’équation réduite de la tangente à la courbeCf au pointAd’abscisseaest : y=f′(a)×(x−a)+f(a)
REMARQUE
La courbe représentative d’une fonction f peut avoir une tangente en un pointa sans que la fonction soit dérivable ena.
La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d’équationx=0 en 0.
Or la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 en effet :
xlim→0
px−p 0 x−0 =lim
x→0
px x =lim
x→0
p1
x = +∞
ce n’est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.
0 x
y
~i
~j
APPLICATION
Soitf la fonction définie surRparf(x)=x2.
On souhaite calculer l’équation de (D) la tangente àCf au point d’abscissex0=2.
D’après les exemples précédents :f′(2)=4 et f(2)=22=4 donc l’équation de (D) esty=4(x−2)+4=4x−8+4=4x−4
EXEMPLE GRAPHIQUE
La courbeCf tracée ci-dessous est la courbe représentative d’une fonctionf définie surR.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 -2 -3 -4 -5
-1 1 2 3 4 5
0 x
y
1
−2
b b b b b
Cf
T1
T3
T2
Par lecture graphique, déterminerf′(0), f′(2) etf′(3).
1. Le nombre dérivé f′(0) est égal au coefficient directeur de la tangente T1 à la courbe Cf au point d’abscisse 0.
Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droiteT1est égal à−2. Ainsi, f′(0)= −2
2. La tangenteT2à la courbeCf au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses. Donc f′(2)=0 3. La droiteT3, tangente à la courbeCf au point d’abscisse 3 passe par les points de coordonnées (3;0) et
(5;3). Son coefficient directeuraest
a=3−0 5−3=3
2
Le nombre dérivéf′(3) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbeCf au point d’abscisse 3. Donc f′(3)=3
2 III FONCTION DÉRIVÉE
1 INTRODUCTION
On remarque qu’il y a un lien entre le signe du coefficient directeur des tangentes et les variations de la fonctionf.
Sur la figure ci-dessus, on remarque que :
• Si la fonction est décroissante surIalors le coefficient directeur des tangentes aux points d’abscisse dans I est négatif.
• Si la fonction est croissante surI alors le coefficient directeur des tangentes aux points d’abscisse dansI est positif.
On voit donc que le signe du nombre dérivé est très important pour étudier les variations d’une fonction.
Mais nous n’allons pas nous amuser à calculer le nombre dérivée en tous les points de l’ensemble de définition car nous allons y passer trop temps.
Nous allons donc construire des fonctions qui àxassocie le nombre dérivé def enx.
On nommera cette fonction la fonction dérivée def. 2 DÉFINITION
Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR. Lorsque pour tout réelxappartenant àI,f est dérivable enx, on dit quef est dérivable surI.
La fonction qui associe à tout réelxappartenant à I son nombre dérivé f′(x) est appelée la fonction dérivée def sur l’intervalleI. Elle est notéef′.
Attention:
L’ensemble de définition de f n’est pas toujours le même que l’ensemble de dérivabilité (ensemble de définition def′.
3 DÉMONSTRATION DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE DÉRIVÉE DE FONCTION AFFINE
On notef la fonction définie surRparf(x)=ax+b Calculons le nombre dérivé def enx0∈R
τ= f(x0+h)−f(x0)
h =a(x0+h)+b−ax0−b
h =ah
h =adonc f′(x0)=lim
h→0a=a Ainsi, la fonction dérivée de la fonctionf définie surRparf(x)=ax+bestf′(x)=a DÉRIVÉE DE LA FONCTION CARRÉ(DÉMONSTRATION FONDAMENTALE)
On notef la fonction définie surRparf(x)=x2 Calculons le nombre dérivé def enx0∈R: τ=f(x0+h)−f(x0)
h =(x0+h)2−x20
h =x20+2hx0+h2−x02 h
doncτ=2hx0+h2
h =2x0+hdonc f′(x0)=lim
h→02x0+h=2x0
Ainsi, la fonction dérivée de la fonctionf définie surRparf(x)=x2estf′(x)=2x
DÉRIVÉE DE LA FONCTION INVERSE(DÉMONSTRATION FONDAMENTALE) On notef la fonction définie surR∗parf(x)=1
Calculons le nombre dérivé def enx0∈R∗ x
τ= f(x0+h)−f(x0)
h =
1 x0+h− 1
x0
h =
x0−x0−h x02+hx0
h doncτ= −h
x02+hx0×1
h= −1 x20+hx0 donc f′(x0)=lim
h→0
−1
x02+hx0= − 1 x20
Ainsi, la fonction dérivée de la fonctionf définie surR∗parf(x)=1
x estf′(x)= −1 x2 DÉRIVÉE DE LA FONCTION RACINE CARRÉE
On notef la fonction définie surR+parf(x)=p x Calculons le nombre dérivé def enx0∈R+ τ= f(x0+h)−f(x0)
h =
px0+h−px0
h =(p
x0+h−px0)(p
x0+h+px0) h(p
x0+h+px0) doncτ= x0+h−x0
h(p
x0+h+px0)= 1 px0+h+px0
donc f′(x0)=lim
h→0
1
px0+h+px0= 1 2px0
Ainsi, la fonction dérivée de la fonctionf définie surR∗parf(x)=p
xestf′(x)= 1 2p Attention, icif′(x) existe lorsquex∈R∗+et pas surR+ x
Le domaine de définition def et celui de f′sont donc différents.
DÉRIVÉE DE LA FONCTION VALEUR ABSOLUE
La fonctionf :x7→ |x|est définie surR.
Est-elle dérivable sur l’ensemble de définition?
Si on regarde la courbe représentative de la fonctionf on voit qu’en 0 elle admet deux tangentes différentes.
Elle ne semble pas dérivable en 0
1 2 3 4 -1
-2 -3 -4 -5
-1 1 2 3 4 5
0 x
y
Cf
Étudions la dérivabilité enx=0 : Soith6=0 :τ= f(h)−f(0)
h =|h| Il y a donc deux cas possibles :h
• Sih>0 alorsτ=h
h =1 et donc limh→0τ=lim
h→01=1
• h<0 alorsτ= −1 et donc lim
h→0
τ=limh→0−1= −1
Il y a donc deux limites différentes, doncf n’est pas dérivable en 0 4 RÉCAPITULATIF DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
fonction définie et dérivable sur : fonctionf définie par : fonction dérivéef′définie par :
R f(x)=k f′(x)=0
R f(x)=ax+b a
R f(x)=xn (nentiernÊ1) f′(x)=nxn−1
]− ∞;0[ ou ]0;+∞[ f(x)=1
x f′(x)= −1
x2 ]− ∞;0[ ou ]0;+∞[ f(x)= 1
xn (nentiernÊ1) f′(x)= − n xn+1
]0;+∞[ f(x)=p
x f′(x)= 1
2p x APPLICATIONS
On notef la fonction définie surRparf(x)=x5 alorsf est dérivable surRetf′(x)=5x4
On notegla fonction définie surR∗parg(x)= 1 x2 alorsgest dérivable surRetg′(x)= − 2
x3 5 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS
uetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI
DÉMONSTRATION DE LA DÉRIVÉE D’UN PRODUIT(DÉMONSTRATION FONDAMENTALE) Soitf la fonction définie surIpat f =u×v.
On cherche à calculerf′=(u×v)′. On sait que :f′(x)=lim
h→0
f(x+h)−f(x) h
Commençons par calculer :f(x+h)−f(x) :
f(x+h)−f(x)=u(x+h)×v(x+h)−u(x)×v(x) (1)
Utilisons queu(x+h)×v(x)−u(x+h)×v(x)=0 pour l’ajouter à l’égalité (1).
(1) ⇐⇒ f(x+h)−f(x)=u(x+h)×v(x+h)−u(x)×v(x)+u(x+h)×v(x)−u(x+h)×v(x)
⇐⇒ f(x+h)−f(x)=u(x+h)×v(x+h)−u(x+h)×v(x)+u(x+h)×v(x)−u(x)×v(x) en ne faisant que réorganiser les termes de la somme.
⇐⇒ f(x+h)−f(x)=u(x+h)[v(x+h)−v(x)]+v(x)[u(x+h)−u(x)] en factorisant chaque membre.
Il vient alors : f(x+h)h−f(x)=u(x+h)×(v(xh+h)−v(x))+v(x)(u(x+hh)−u(x))
et en passant à la limite : lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h =lim
h→0
u(x+h)(v(x+h)−v(x))
h +v(x)(u(x+hh)−u(x)) (2) On calcule séparément : lim
h→0
u(x+h)(v(x+h)−v(x))
h et lim
h→0
v(x)(u(x+h)−u(x)) h hlim→0
u(x+h)(v(x+h)−v(x))
h ?
hlim→0u(x+h)=u(x) et lim
h→0
v(x+h)−v(x)
h =v′(x) donc lim
h→0
u(x+h)(v(x+h)−v(x))
h =u(x)v′(x) En procédant de même, on obtient que : lim
h→0
v(x)(u(x+h)−u(x))
h =v(x)×u′(x) Au final,
(2) ⇐⇒ u(x)v′(x)+u′(x)×v(x) TABLEAU RÉCAPITULATIF
fonctionf définie par : fonction dérivéef′:
Produit d’une fonction par un réelk ku ku′
Somme u+v u′+v′
Produit u×v u′v+uv′
Quotient (v6=0 surI) u
v
u′v−uv′ v2
Inverse (v6=0 surI) 1
v −v′
v2
EXEMPLES
1. Produit de deux fonctions
Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= µ
2+x2 3
¶ µ 1−2
x
¶
. Calculerf′(x).
Sur ]0;+∞[f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
f =uvd’oùf′=u′v+uv′. Avec pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0;+∞[, u(x)=2+x2
3 d’où u′(x)=2x 3 v(x)=1−2
x d’où v′(x)= 2 x2
Soit pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0;+∞[, f′(x)=2x
3 × µ
1−2 x
¶ + 2
x2× µ
2+x2 3
¶
=2x 3 −4
3+ 4 x2+2
3
=2x3−2x2+6 3x2
Ainsi,f′est la fonction définie sur ]0;+∞[ parf′(x)=2x3−2x2+6 3x2 . 2. Quotient de deux fonctions
Soitf la fonction définie surRparf(x)=4x−3
x2+1. Calculerf′(x).
SurR,f est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables.
f =u
v d’oùf′=u′v−uv′
v2 . Avec pour tout réelx,
u(x)=4x−3 d’où u′(x)=4 v(x)=x2+1 d’où v′(x)=2x Soit pour tout réelx,
f′(x)=4(x2+1)−2x(4x−3) (x2+1)2
=4x2+4−8x2+6x (x2+1)2
=−4x2+6x+4 (x2+1)2 Ainsi,f′est la fonction définie surRparf′(x)=−4x
2+6x+4 (x2+1)2 . IV DÉRIVÉE ET VARIATIONS D’UNE FONCTION
1 THÉORÈME1
Soitf une fonction dérivable et monotone sur un intervalleIdeR.
— Sif est constante surI, alors pour tout réelxappartenant àI,f′(x)=0.
— Sif est croissante surI, alors pour tout réelxappartenant àI,f′(x)Ê0.
— Sif est décroissante surI, alors pour tout réelxappartenant àI,f′(x)É0.
Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.
2 THÉORÈME2
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleIdeRetf′la dérivée def surI.
— Sif′est nulle surI, alorsf est constante surI.
— Sif′est strictement positive surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alorsf est strictement croissante surI.
— Sif′est strictement négative surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alorsf est strictement décroissante surI.
3 THÉORÈME3
Soitf une fonction dérivable sur un intervalle ouvertI deRetx0un réel appartenant àI. 1. Sif admet un extremum local enx0, alorsf′(x0)=0.
2. Si la dérivéef′s’annule enx0en changeant de signe, alorsf admet un extremum local enx0.
x a x0 b
f′(x) − 0|
| +
f(x)
minimum
x a x0 b
f′(x) + 0|
| −
f(x)
maximum
REMARQUES
1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l’hypothèseen changeant de signeest importante.
Considérons la fonction cube définie sur R par f(x) = x3 qui a pour dérivée la fonctionf′définie surRparf′(x)=3x2.
f′(0)=0 et pour tout réelxnon nul, f′(x)>0.
La fonction cube est strictement croissante surRet n’admet pas d’extremum en 0. 0 x y
2. Une fonction peut admettre un extremum local enx0sans être nécessairement dérivable.
Considérons la fonctionf définie surRparf(x)= |x−1| +1 .
f est une fonction affine par morceaux,f admet un minimum f(1)=1 orf n’est pas dérivable en 1.
0 x
y
b
POINT MÉTHODE
En pratique, pour étudier les variations d’une fonctionf dérivable sur son ensemble de définitionDf :
• on détermine la dérivéef′def;
• on étudie le signe def′surDf;
• on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles deDf où le signe def′est constant;
• on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s’il y a lieu et éventuellement les limites aux bornes de son ensemble de définition.
4 EXERCICE DE SYNTHÈSE CORRIGÉ
Étudier les variations de la fonctionf définie parf(x)=2x2+3x+5
x−3 surR\{3}
Rédaction :
Calculons sa fonction dérivée en utilisant la formef(x)=u(x) v(x) On noteu(x)=2x2+3x+5 définie et dérivable surR
v(x)=x−3 définie et dérivable surR Alorsu′(x)=4x+3 etv′(x)=1
f est dérivable surR\{3} comme quotient de deux fonctions dérivables surR\{3}
etf′=³u v
´′
=u′v−uv′ v2 f′(x)=(4x+3)(x−3)−¡
2x2+3x+5¢ (1)
(x−3)2 =2¡
x2−6x−7¢ (x−3)2
II faut donc étudier le signe dex2−6x−7 puisque (x−3)2est toujours positif.
∆=b2−4ac=(−6)2−4(−7)(1)=36+28=64=82 donc∆>0 et il y a deux racines réelles distinctes : x1=−b+p
∆
2a =6+8
2 =7 etx2=−b−p
∆ 2a =6−8
2 = −1 On obtient donc le tableau de variations suivant :
x f′(x)
f(x)
-∞ −1 3 7 +∞
+ 0 − − 0 +
−1
−1
28.5 28.5 f(−1)= −1 etf(7)=28,5
