On remarque que lorsqu’on rapprocheBdeAla droite (AB) se rapproche de la tangente à la courbeC{au point d’abscissea

DÉRIVATION

I TAUX DE VARIATION

1 DÉFINITION(VIDÉO1)

On nomme f une fonction définie surI etC_f sa courbe représentative dans (O,~i,~j).

On nommeA(x_A;yA) etB(x_B;yB) deux points deC_f

0 x

y

~i

~j

b

xB

f(x_B)

xA

f(x_A)

B A

2 PROPRIÉTÉ

Le taux de variation def entreaetbest le . . .. . .. . .. . .. . .. . ..

3 EXEMPLES: (VIDÉO2)

On notef la fonction définieR_parf(x)=5x²_−6x+7.

Calculer le taux de variation def entre 3 et -2.

II NOMBRE DÉRIVÉE

1 INTRODUCTION:(VIDÉO3)

On cherche maintenant à savoir ce qui se passe si on rapproche le pointB vers le A jusqu’à ce qu’ils se superposent.

On remarque que lorsqu’on rapprocheBdeAla droite (AB) se rapproche de la tangente à la courbeC_{au point d’abscissea.

LorsqueBest très très proche de Aalors la droite (AB) est confondue avec la tangente à la courbeC_{au point d’abscissea.

Comment traduire cela de façon mathématiques?

On traduit donc de la façon suivante :

Le coefficient directeur de la tangente à la courbeC_{au point d’abscisseaest le taux de variation def entre aetblorsqueBse rapproche deA.

On noteb=a+h, l’abscisse du pointB.

Pour traduire que le pointBest tout proche de A, on va donc dire quehtend vers 0. ( car sihtend vers 0, alorsa+htend versa).

Il faut donc calculer le taux de variation def entrea+hetalorsquehtend vers 0.

Orτ=...

Le coefficient directeur de la tangente à la courbeC_f au point d’abscisseaest :

m=... ...

2 DÉFINITION:

Soitf une fonction définie sur un intervalleI deR_etaun réel appartenant àI. Lorsque le rapport f(a+h)−f(a)

h admet une limite réelle quandhtend vers 0 (aveca+hrestant dans I), on dit que la fonction f est dérivable ena et cette limite réelle, notée f^′(a), est appelée le nombre dérivé de f ena.

On notef^′(a) le nombre :

... ...

3 APPLICATION

Soitf :x7→x²définie surR. Calculerf^′(2) (Vidéo 4)

Soitg:x7→1

x définie surR^∗. Calculerg^′(−1) (Vidéo 5)

Soith:x7→p

xdéfinie surR⁺. (Vidéo 6)

4 TANGENTE À UNE COURBE DÉMONSTRATION(VIDÉO7)

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.

La droite (T) passant par le pointA¡

a;f(a)¢

de la courbeC_f et de coefficient directeurf^′(a) est appelée la tangente à la courbeCf au point d’abscissea

0 x

y

~i

~j

b

a

f(a) A

PROPRIÉTÉ

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a oùa est un réel deI, etCf sa courbe représentative dans un repère du plan.

L’équation réduite de la tangente à la courbeCf au pointAd’abscisseaest : ... ...

NONDÉRIVABILITÉ DE LA FONCTION RACINE CARRÉE EN0 (VIDÉO8)

La courbe représentative d’une fonction f peut avoir une tangente en un pointa sans que la fonction soit dérivable ena.

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..

0 x

y

~i

~j

APPLICATION: (VIDÉO9)

Soitf la fonction définie surR_parf(x)=x²_.

On souhaite calculer l’équation de (D) la tangente àC_f au point d’abscissex₀=2.

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

EXEMPLE GRAPHIQUE: (VIDÉO10)

La courbeC_f tracée ci-dessous est la courbe représentative d’une fonctionf définie surR_.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5

-1 1 2 3 4 5

0 x

y

1

−2

b b b b b

C_f

T₁

T₃

T₂

Par lecture graphique, déterminerf^′(0), f^′(2) etf^′(3).

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

III FONCTION DÉRIVÉE

1 INTRODUCTION(VIDÉO11)

On remarque qu’il y a un lien entre le signe du coefficient directeur des tangentes et les variations de la fonctionf.

Sur la figure ci-dessus, on remarque que :

• Si la fonction est décroissante surIalors le coefficient directeur des tangentes aux points d’abscisse dans I est négatif.

• Si la fonction est croissante surI alors le coefficient directeur des tangentes aux points d’abscisse dansI est positif.

On voit donc que le signe du nombre dérivé est très important pour étudier les variations d’une fonction.

Mais nous n’allons pas nous amuser à calculer le nombre dérivée en tous les points de l’ensemble de définition car nous allons y passer trop temps.

Nous allons donc construire des fonctions qui àxassocie le nombre dérivé def enx.

On nommera cette fonction la fonction dérivée def. 2 DÉFINITION

Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR. Lorsque pour tout réelxappartenant àI,f est dérivable enx, on dit quef est dérivable surI.

La fonction qui associe à tout réelx appartenant à I . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .f^′(x) est appelée la fonction . . .. . .. . .. . .de f sur l’intervalleI. Elle est notée. . .. . .. . ..

Attention:

L’ensemble de définition de f n’est pas toujours le même que l’ensemble de dérivabilité (ensemble de définition def^′.

3 DÉMONSTRATION DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE DÉRIVÉE DE FONCTION AFFINE(VIDÉO12)

On notef la fonction définie surRparf(x)=ax+b Calculons le nombre dérivé def enx0∈R

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

DÉRIVÉE DE LA FONCTION CARRÉ(VIDÉO13)

On notef la fonction définie surRparf(x)=x² Calculons le nombre dérivé def enx₀∈R: . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

DÉRIVÉE DE LA FONCTION INVERSE(VIDÉO13) On notef la fonction définie surR^∗parf(x)=1 Calculons le nombre dérivé def enx₀∈R^∗ x . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

DÉRIVÉE DE LA FONCTION RACINE CARRÉE(VIDÉO14) On notef la fonction définie surR₊parf(x)=p

x Calculons le nombre dérivé def enx0∈R⁺ . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

DÉRIVÉE DE LA FONCTION VALEUR ABSOLUE(VIDÉO15) La fonctionf :x7→ |x|est définie surR_.

Est-elle dérivable sur l’ensemble de définition?

1 2 3 4

-1 -2 -3 -4 -5

-1 1 2 3 4 5

0 x

y

C_f

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

4 RÉCAPITULATIF DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE (VIDÉO16)

fonction définie et dérivable sur : fonctionf définie par : fonction dérivéef^′définie par :

R _{f(x)=k f}^′_(x)=...

R _{f(x)=ax+b f}′(x)=...

R _f(x)=xⁿ _{(nentiernÊ1) f}′(x)=... ...

]− ∞;0[ ou ]0;+∞[ f(x)=1

x f^′(x)=... ...

]− ∞;0[ ou ]0;+∞[ f(x)= 1

xⁿ (nentiernÊ1) f^′(x)=... ...

]0;+∞[ f(x)=px f^′(x)=... ...

APPLICATIONS

On notef la fonction définie surRparf(x)=x⁵ alorsf est dérivable surRetf^′(x)=... ...

On notegla fonction définie surR^∗parg(x)= 1 x² alorsgest dérivable surRetg^′(x)=...

5 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS

uetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI

DÉMONSTRATION DE LA DÉRIVÉE D’UN PRODUIT(DÉMONSTRATION FONDAMENTALE) (VIDÉO17) . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

RÉCAPITULATIF OPÉRATIONS AVEC LES DÉRIVÉES(VIDÉO18)

fonctionf définie par : fonction dérivéef^′:

Produit d’une fonction par un réelk ku ...

Somme u+v u^′+v^′

Produit u×v ...

Quotient (v6=0 surI) u

v ...

Inverse (v6=0 surI) 1

v ...

EXEMPLES

1. Produit de deux fonctions

Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= µ

2+x² 3

¶ µ 1−2

x

¶

. Calculerf^′(x). (Vidéo 19) . . .. . .. . .

2. Quotient de deux fonctions

Soitf la fonction définie surR_parf(x)=^4x−3

x²+1. Calculerf^′(x). (Vidéo 20) . . .. . .. . .

IV DÉRIVÉE ET VARIATIONS D’UNE FONCTION

1 THÉORÈME1 (VIDÉO21)

Soitf une fonction dérivable et monotone sur un intervalleIdeR_.

— Sif est constante surI, alors pour tout réelxappartenant àI, . . .. . .. . .

— Sif est croissante surI, alors pour tout réelxappartenant àI, . . .. . .. . .

— Sif est décroissante surI, alors pour tout réelxappartenant àI, . . .. . .. . .

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

2 THÉORÈME2

Soitf une fonction dérivable sur un intervalleIdeR_etf^′la dérivée def surI.

— Sif^′est nulle surI, alorsf est . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .surI.

— Sif^′est strictement positive surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alorsf est . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .surI.

— Sif^′est strictement négative surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alorsf . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .surI.

3 THÉORÈME3

Soitf une fonction dérivable sur un intervalle ouvertI deR_etx0un réel appartenant àI. 1. Sif admet un extremum local enx0, alors . . .. . .. . ..

2. Si la dérivéef^′s’annule enx0en changeant de signe, alorsf admet . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..

x a x₀ b

f^′(x) ... ...^|

| ...

f(x)

. . .. . .

x a x₀ b

f^′(x) ... ...^|

| ...

f(x)

. . .. . .

REMARQUES

1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l’hypothèseen changeant de signeest . . .. . .. . ..

Considérons la fonction cube définie sur R _{par f(x) = x}³ qui a pour dérivée la fonctionf^′définie surR_parf^′_(x)=3x²_.

. . .. . .. . .. . .

0 x

y

2. Une fonction peut admettre un extremum local enx0sans être nécessairement dérivable.

Considérons la fonctionf définie surR_{parf(x)= |x−1| +1 .} . . .. . .. . .. . .

0 x

y

b

POINT MÉTHODE

En pratique, pour étudier les variations d’une fonctionf dérivable sur son ensemble de définitionD_f :

• on détermine la dérivéef^′def;

• on étudie le signe def^′surD_f;

• on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles deD_f où le signe def^′est constant;

• on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s’il y a lieu et éventuellement les limites aux bornes de son ensemble de définition.

4 EXERCICE DE SYNTHÈSE CORRIGÉ

Étudier les variations de la fonctionf définie parf(x)=2x²+3x+5

x−3 surR\{3} (Vidéo 22)