Relations d’ordre, r´eels

Relations d’ordre, r´ eels

1 Relation d’ordre

1.1 D´efinition g´en´erale

Remarque. On admet la notion intuitive de relation(binaire) entre 2 ´el´ements d’un ensemble E.

D´efinition. Soit ¤une relation surE. On dit que¤est une relation d’ordresi et seulement si : (a) ¤ estr´eflexivei.e.@xPE, x¤x

(b) ¤ estantisym´etriquei.e.@px, yq PE²,px¤y ety¤xq ùñ xy (c) ¤ esttransitivei.e.@px, y, zq PE³,px¤y ety¤zq ùñ x¤z

D´efinition. Soit une relation d’ordre ¤ sur un ensemble E. On dit que deux ´el´ements x et y de E sont comparables si et seulement six¤y ou y¤x. Lorsque tous les couples d’´el´ements de E sont comparables,

on dit que l’ordre est total. On dit qu’il est partielsinon.

Exemple. Montrer que les relations suivantes sont d’ordre. L’ordre est-il total ou partiel ? (a) Dans R, la relation «inf´erieur ou ´egal» usuelle ;

(b) Dans PpEq, la relation d’inclusion ; (c) Dans R², l’ordre produit d´efini par :

px, yq ¤ px¹, y¹q ðñ x¤x¹ ety ¤y¹

(d) Dans R², l’ordre lexicographique d´efini par :

px, yq ¤ px¹, y¹q ðñ x x¹ ou xx¹ ety¤y¹ Attention.

1.2 ´El´ements remarquables

D´efinition. Soit ¤une relation d’ordre sur un ensemble E etA une partie de E. On d´efinit :

• M PE est unmajorant de Asi et ssi :

@xPA, x¤M

• α est unplus grand ´el´ement de Asi et ssi :

# αPA

@xPA, x¤α

On donne des d´efinitions analogues pour un minorantet un plus petit ´el´ement.

Th´eor`eme.

Avec les notations pr´ec´edentes,un plus grand ´el´ement deA, s’il existe, est unique. On le note maxA.

D´efinition. On conserve les notations pr´ec´edentes.

Si l’ensemble des majorants deA dansE admet un plus petit ´el´ement, celui-ci s’appelle la borne sup´erieure

de A dansE, not´e suppAq.

Remarque.

Propri´et´e. SiαmaxA, alorsαsupA.

2 Les nombres r´ eels

2.1 Propri´et´es ´el´ementaires des nombres r´eels

2.1.1 Corps des nombres r´eels

Propri´et´e. R est muni de la loi de composition interne satisfaisant :

• Associativit´e : @x, y, z, px yq zx py zq

• 0 est ´el´ement neutre : @x, x 00 xx

• Tout r´eel a un oppos´e : @x, Dyp xq t.q.x yy x0

• Commutativit´e : @x, y, x y y x

On dit que pR, q est ungroupe commutatif.

Propri´et´e. Rest aussi muni de la loi de composition interne aussi not´eeou [absence de signe] satisfaisant :

• Associativit´e : @x, y, z, pxyq zx pyzq

• 1 est ´el´ement neutre : @x, x11xx

• Tout r´eel non nul a un inverse : @x0, Dy ¹_x

t.q.xyyx1

• Commutativit´e : @x, y, xy yx

• Distributivit´e de sur :@x, y, z, x py zq pxyq pxzq

On dit que pR, ,qest uncorps commutatif.

2.1.2 Compatibilit´e de ¤ avec les op´erations et Propri´et´e. @px, y, zq P R³,px¤y ðñ x z¤y zq Propri´et´e. @px, yq P R²,@zP R,px¤y ðñ xz¤yzq

Cons´equence. On peut montrer que toutes les r`egles de calcul usuelles sont vraies. Ainsi par exemple :

@px, yq P R,

x¤y ðñ ¹_y ¤ _x¹ .

2.1.3 Valeur absolue d’un r´eel

D´efinition. On appellevaleur absolue de xP Rle r´eel |x|d´efini par :

|x|

"

x si x¥0 x si x¤0

Propri´et´e.

(a) @xP R,|x| maxtx,xu;

(b) @xP R,|x| ¥0;

(c) @xP R,|x| 0 ðñ x0;

(d) @px, yq P R²,|xy| |x||y|;

(e) @xP R,_x^{1 1}

|x|; (f) @px, yq P R²,

"

maxpx, yq ¹₂px y |xy|q minpx, yq ¹₂px y |xy|q . Th´eor`eme (In´egalit´es triangulaires).

@px, yq P R²,|x| |y| ¤ |x y| ¤ |x| |y|

2.1.4 Distance usuelle dans R

D´efinition. On appelledistance usuelle sur Rl’application d : R R Ñ R

px, yq ÞÑ |xy|

2.2 Vocabulaire

D´efinition. On appelle droite num´erique achev´ee, et on note R l’ensemble R Y t8, 8u. On ´etend `a R

la relation d’ordre usuelle deR en posant pour tout xP R:8  x  8.

D´efinition. Soit deux r´eelsa¤b. On appellesegment ra, bsl’ensemble : ra, bs txP Rt.q.a¤x¤bu

D´efinition. Soit I une partie non vide deR. On dit queI est unintervallesi et seulement si :

@px, yq PI², x y ùñ rx, ys €I

Remarque.

Remarque.

2.3 Savoir majorer, minorer et utiliser les bornes sup et inf Rappel.

Quelques in´egalit´es classiques.

@a, bP R |ab| ¤ a² b²

@xP R |sinx| ¤|2x|

@xP

0,^π₂ 2

πx¤sinx¤x

@x¡ 1 lnp1 xq ¤x

@x e^x¥1 x

Exemple. Montrer que pour touta, bP R,pa bq² ¤2pa² b²q Exemple. Pour xP r2,3s, encadrer x1

e^x 1 Exemple. Soitu_n n³ n²

n² 1 . Encadrer `a partir d’un certain rang par deux suites de la formec n.

D´efinition. Soit A une partie de R. On dit que A est born´ee si et seulement si elle est major´ee et minor´ee.

C’est ´equivalent `a : DM ¡0 t.q.@xPA, |x| ¤M

Exemple. Rappeler les d´efinitions de plus grand ´el´ement et de borne sup. Donner, si ils existent, le plus grand

´

el´ement, la borne sup, le plus petit ´el´ement, la borne inf des parties suivantes :

• A r0,1s

• B r0,1r

• C _n¹, nP N( .

Rappel. Soit A€ R une partie non vide. On suppose que A admetteα pour plus grand ´el´ement. Alors α est borne sup de A.

Th´eor`eme (Caract´erisation de la borne sup par ε).

Soit A une partie de R etaP R. On a :

asupA ðñ

#@xPA, x¤ai.e.amajorant de A

@ε¡0, DxεPA t.q.aε xεp¤aq

Th´eor`eme.

Toute partie non vide major´ee deR admet une borne sup´erieure.

Toute partie non vide minor´ee deR admet une borne inf´erieure.

Remarque.

Remarque.

2.4 Partie enti`ere d’un r´eel

D´efinition. Pour toutxP R, il existenP Zunique tel que n¤x n 1, appel´e partie enti`eredex et not´ee Epxq ou txu.

Remarque. Ainsi, la partie enti`ere satisfait les in´egalit´es fondamentales suivantes : Epxq ¤x Epxq 1

Remarque.

Propri´et´e. E est une fonction croissante :

x¤y ùñ Epxq ¤Epyq

2.5 Densit´e

D´efinition. Une partie Dde R est ditedense dans R si et seulement si

@px, yq P R² x y DdPDt.q. x d y

Remarque.

Rappel.

Th´eor`eme.

Q est dense dansR.

Corollaire. RrQest dense dans R. 2.6 Approximation d´ecimale d’un r´eel

Proposition-d´efinition. Soit xP R. Alors pour tout nP N, il existe un uniqueq_nP Z tel que qn

10ⁿ ¤x  qn 1

10ⁿ

qn

10ⁿ s’appelle la valeur approch´ee de x `a 10<sup>n</sup> pr`es par d´efaut.

q_n 1

10ⁿ s’appelle la valeur approch´ee de x `a 10<sup>n</sup> pr`es par exc`es.

Exemple.

Relationd’ordre 11.1Ladivisibilit´edansN nconsid`eredansNlarelationdedivisibilit´e: a|bðñDcPNt.q.acb (a)D´emontrerquec’estunerelationd’ordre; (b)D´eterminerlepluspetit´el´ementetleplusgrand´el´ementdeN pourcetterelation. (c)SoitAt8,12uetBt5,13,20u.AetBsont-ellesmajor´ees? minor´ees?born´ees?Ont-ellesunpluspetit(resp.plusgrand) ´el´ement?D´eterminerpourchacunel’ensembledesesmajorants (resp.minorants).Cetensemblea-t-ilunpluspetit(resp.plus grand)´el´ement? ordrereels_23.tex 11.2OnmunitNdelarelationRd´efiniepar: @p,qPN ,pRqðñDnPN t.q.pn q (a)MontrerqueRestunerelationd’ordre.L’ordreest-iltotal? (b)Lapartiet2,3uest-ellemajor´ee? ordrereels_33.tex 11.3OnnoteEl’ensembledescerclesduplanusuel.Pourdeux rclesCetC1 ,decentrerespectifsΩetΩ1 ,derayonsrespectifsRet 1 ,onditqueCestint´erieur`aC1 sietseulementsiΩΩ1 ¤R1 R. ontrerqu’ils’agitd’unerelationd’ordredansE.ordrereels_31.tex 11.4OnmunitR2 delarelation¤d´efiniepar: px,yq¤px1 ,y1 qðñx¤x1 ety¤y1 (a)Montrerque¤estunerelationd’ordre.Est-iltotal? (b)OnnoteDledisqueferm´edecentrep0,0qderayon1.Dadmet-il desmajorants?unplusgrand´el´ement?unebornesup´erieure? ordrereels_30.tex

Propri´et´esdesr´eels 11.5D´emontrerqueRrQestdensedansR. Indication.Onpourrachercherentredeuxr´eelsunirrationneldelaforme r? 2avecrPQ ordrereels_9.tex 11.6D´emontrerquel’intersectiond’unefamillequelconqued’in- tervallesestunintervalle.ordrereels_1.tex 11.7D´emontrerque? 2estirrationnel.ordrereels_6.tex 11.8Soitf:RÑRcroissantetelleque@px,yqPR2 fpxyq fpxqfpyq.Montrerque (a)@nPNfpnqnfp1q. (b)@nPZfpnqnfp1q. (c)@qPQfpqqqfp1q. (d)@xPRfpxqxfp1q. Indication.Onpourrautiliserladensit´edeQdansRpourencadrerxpar desrationnelsdeplusenplusprochesdex. ordrereels_25.tex Sup,maxetcompagnie 11.9 (a)Majorern1 3n2n`apartird’uncertainrangparunesuitedela formec n. (b)Montrerquelasuitedetermeg´en´eralun? n2n2 ? n21estmajor´ee. (c)Majorer,pourxPR,laquantit´e sinx2cosx esinx

ordrereels_5.tex 11.10SoitAetBdeuxpartiesnonvidesmajor´eesdeR.Ond´efinit l’ensemble: ABtxPRt.q.Dpa,bqPAB,xabu

(a)MontrerqueABadmetunebornesup´erieure. (b)MontrerquesuppABq¤supAsupB (c)A-t-on´egalit´e? ordrereels_4.tex 11.11SoitAetBdeuxpartiesnonvidesmajor´eesdeR. (a)D´emontrerqueA€BùñsuppAq¤suppBq; (b)D´emontrerqueAYBestmajor´ee.ExprimersuppAYBq`al’aide desuppAqetsuppBq; (c)AXBadmet-elleunebornesup´erieure?Peut-onl’exprimer? ordrereels_11.tex 11.12SoitAtxPQt.q.x2 2u.MontrerqueAn’apasdeplus grand´el´ement,etqueAn’apasdebornesup´erieuredansQ.Etdans R? ordrereels_14.tex 11.13D´eterminer,s’ilsexistent,bornessup.etinf.de: A" 1 2np1qn n,nPN* ordrereels_28.tex 11.14D´eterminer,s’ilsexistent,bornessup.etinf.de: A" 1p1qn nn2 ,nPN* ordrereels_29.tex 11.15Ond´efinitAt? nEp? nq,nPNu.´ Etudierl’existenceet d´eterminerlecas´ech´eantbornesupetborneinf,minimumetmaxi- mum.

ordrereels_27.tex Lapartieenti`ere 11.16Montrerque@xPR,0¤Ep2xq2Epxq¤1. ordrereels_17.tex 11.17CalculerEpxqEpxqpourtoutxPR.ordrereels_18.tex 11.18Montrerque@px,nqPRN ,Z tnxu n

^ txu. ordrereels_19.tex 11.19Montrerque@nPN,Y p2? 3qn] estentierimpair. Indication.Montrerquetp2? 3qnup2? 3qnp2? 3qn1 ordrereels_20.tex 11.20D´emontrerque@nPN,Ep? n? n1qEp? 24nq. Indication.Onpourramontrerque? n? n1¤? 24n,end´eduireune in´egalit´elarge.Montreralorsparunraisonnementparl’absurdequel’in´ega- lit´enepeutˆetrestricteetconclure ordrereels_22.tex 11.21 (a)Montrerque@nPN ,? n1? n 1 2? n ? n? n1; (b)End´eduirelavaleurdeE 1 2¹⁰

000¸ k1

1 ? k . ordrereels_21.tex