Page 1 sur 2 A731. Le classement des billes
Jules possède des billes d’apparence identique. Il sait qu’elles sont toutes de masses légèrement différentes. Il aimerait les classer, dans l’ordre, de la plus lourde à la plus légère. Pour cela, il ne dispose que d’une petite balance à plateaux sur laquelle il ne peut mettre qu’une bille de chaque côté.
Chaque utilisation de la balance constitue un test.
Q1 Combien de tests doit-il effectuer, au minimum, pour classer 5 billes, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie ?
Q2 Combien de tests doit-il effectuer, au minimum, pour classer 8 billes, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie ?
Q3 Pour les plus courageux : combien de billes, au maximum, peut-il classer en 34 tests, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie ?
Solutions d’Augustin Genoud Quelques codes :
• a > b : la bille a est plus lourde que la bille b
• c↔d : test entre les billes c et d
• Les classements seront notés selon le schéma ci-dessous où b > d > a > c et f > e.
Q1. Soit a, b, c, d et e, les cinq billes de Jules.
1er test : a↔b. Supposons que a > b.
2ème test : c↔d. Supposons d > c.
Situation schématisée après deux tests :
3ème test : a↔d (Jules compare les billes les plus lourdes des groupes de deux billes).
a) Si d > a, la situation schématisée est la suivante :
Jules teste a↔e. Selon le résultat, il teste d↔e ou b↔e.
Après cinq tests, Jules obtient une des quatre schémas suivants :
1er cas : Jules teste a↔c et, si nécessaire, b↔c pour finir le classement. Sept tests en tout.
2ème cas : Jules teste a↔c, et e↔c ou b↔c pour finir le classement. Sept tests en tout.
3ème cas : Jules teste e↔c, et a↔c ou b↔c pour finir le classement. Sept tests en tout.
4ème cas : Jules teste b↔c, et a↔c ou e↔c pour finir le classement. Sept tests en tout.
b f d e a c
a d e b c
d d e a c b
1 2 3 4
e d d d d d d d
d c e c a c a c
a a e b
b b b e
Page 2 sur 2 b) Si d < a, Jules peut dessiner le schéma suivant :
Par le même procédé qu’en a), Jules va classer la bille e parmi les billes du groupe de 3 billes. Il va donc d’abord tester d↔e, et selon le résultat, il teste a↔e ou c↔e. Etc.
Jules doit donc effectuer au minimum 7 tests pour classer 5 billes, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie.
Q2. Jules classe les 5 premières billes (a, b, c, d et e) en 7 tests.
Supposons qu’il ait obtenu c > b > d > e > a. Pour classer la 6ème bille (f), il lui faut 3 tests supplémentaires comme on peut le voir par la suite.
Jules teste d↔f.
Si f > d, il teste b↔f et, si nécessaire, c↔f.
Si f < d, il teste e↔f et, si nécessaire, a↔f.
Il faut donc 10 tests pour classer 6 billes.
Pour classer une 7ème bille (g), il lui faut 3 tests supplémentaires. En effet, regardons la situation suivante dans laquelle les 6 premières billes ont été classées en 10 tests.
Jules teste d↔g.
Si g > d, il teste b↔g et, si nécessaire, c↔g.
Si g < d, il teste e↔g et, selon le résultat, f↔g ou a↔g.
Il faut donc 13 tests pour classer 7 billes.
Pour classer une 8ème bille (h), il lui faut 3 tests supplémentaires. En effet, regardons la situation suivante dans laquelle les 7 premières billes ont été classées en 13 tests.
Jules teste d↔h.
Si h > d, il teste b↔h et, selon le résultat, g↔h ou c↔h.
Si h < d, il teste e↔h et, selon le résultat, f↔h ou a↔h.
Jules doit donc effectuer au minimum 16 tests pour classer 8 billes, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie.
Q3. Selon le lien suivant https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort 13 billes peuvent être classées en 34 tests, au maximum, dans le pire des cas et en appliquant la meilleure stratégie.
a a e b d
c
c f b d e a
c g b d f e a
c h b g d f e a
