D156. Billes de clown
L’un des petits enfants de Diophante a dessiné plusieurs billes de clown.
Avec la première figure du cadre de gauche ci-dessus, il a tracé un segment , puis un cercle passant par les points et pour obtenir le contour du visage. Il a continué avec les tangentes et en et au cercle afin d’avoir le chapeau . Il a colorié rapidement le nez, les yeux et la bouche. Enfin, pour orner le chapeau d’un liseré rouge, il a pris le point milieu de et a cherché le point sur le petit arc de cercle tel que 2. Comment a-t- il construit très simplement le point à l’aide d’une règle et d’un compas ?
Il a varié les plaisirs aves les trois figures du cadre de droite. Dans chacune d’elles il a tracé un segment de même longueur puis il a marqué les points et respectivement sur et tels que 2 et 3 2. Ensuite, il a tracé un cercle de rayon quelconque passant par les points et pour faire le contour du visage et il repéré le menton par le point . Les tangentes et au cercle ont donné le chapeau . Enfin il a tiré un liseré pour relier et qui a coupé le front en . Dans tous les cas, les points , et sont restés alignés. Pourquoi ?
S
B
A I
O M
(a,0) (0,b)
(0,0)
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Première Figure
Montrons que intersection de et de l’arc vérifie 2.
Notons le centre du cercle et introduisons un repère orthonormé d’origine tel que ; 0 et 0; . On a alors 0;.
Le cercle a pour équation ². La droite orthogonale à a pour équation . Le point B à leur intersection a donc pour coordonnées :
2
; 2
On en déduit que la droite a pour équation 3 4 2² 0 puis que a pour coordonnées :
2
9 ; 6 9 On conclut en calculant que :
² ²
49 et ² ² 9
Deuxième Figure
Montrons que intersection de et de l’arc , est sur . Introduisons un repère orthonormé tel que ; 0, ; 0, 0, . On a alors $%&; 0' , $&%(; 0'.
Le cercle a pour équation ² ² ²)%² ² et pour centre 0; ²)%*. La droite a pour équation 3 0. Le point à leur intersection a donc pour coordonnées :
3 9 ; 8
9
La droite orthogonale à a pour équation 2 ²)% * 2. D’où on déduit que 0;%*)%** puis que la droite a pour équation :
10 3 6²
On conclut en vérifiant par le calcul que les coordonnées de vérifient bien cette équation.
C D
O
M S
T
A B
(a,0) (-a,0)
(0,-b) a
3,0 3·a
5 ,0
