D156 : Billes de clown
L’ensemble des points M du plan tels que MS=2MI est un cercle, de diamètre limité par les points de la droite SI qui vérifient cette relation, à savoir le point A et le point J entre I et S tel que 3JS=AS. Il a donc pour centre K entre A et I tel que 3AK=AS (K peut se construire simplement comme centre de gravité du triangle ABB’, où B’ est le symétrique de B par rapport à I, en joignant B’ au milieu de A). Le point cherché est donc
l’intersection de l’arc AB du cercle donné et du cercle de centre K passant par A.
Soit un cercle quelconque de centre O, passant par A et B ; H milieu de AB est aligné avec O, S et T. Soit α l’angle HOA et a=tan(α/2) ; pour tout point M du cercle, ( en désignant par θ l’angle HOM, et t=tan(θ/2) ) on construit P et Q , intersections respectives de SM et TM avec AB. Si N est la projection de M sur ST, on a donc HP=MN.HS/NS et HQ=MN.HT/NT ; or MN/HA=sinθ/sinα, HS=OS-OH, NS=OS-ON, HT=OT+OH, HN=OT+ON, OH/OT=cosα, ON/OT=cosθ et OS/OT=1/cosα ; donc p=HP/HA=sinα sinθ /(1-cosα cosθ) et q=HQ/HA=sinθ(1+cosα)/(sinα(1+cosθ)) ; mais sinθ/(1+cosθ)=tan(θ/2)=t, donc q=t/a ; de même p=2at/(a2+t2)=2(t/a)/(1+(t/a)2)=2q/(1+q2).
On en déduit que, quel que soit le rayon du cercle, à un point Q de AB correspond toujours le même point P.
En particulier si q=1/3, p=3/5, et l’on a alors P=C et Q=D
