D156 – Billes de clown [**** à la main] Solution 1

D156 – Billes de clown [**** à la main]

Solution 1^er problème

Le point M recherché est à l’intersection de la droite BI avec le cercle .

Soit N le point symétrique de M par rapport à I sur le droite BI. Comme AI = IS et IM = IN, le quadrilatère AMSN est un parallélogramme (propriété P ) ₁

Par ailleurs, comme IA est tangente au cercle de centre O, on a IA²IM.IBIA.ISIN.IB. Il en résulte que les quatre points A,B,S et N sont cocycliques (propriété P ). ₂

Soient u,v, et w les angles repérés respectivement par les couleurs rouge, bleue et verte.

Comme SA et SB sont tangentes au cercle de centre O, on a les égalités suivantes : u = BAM = MBS = NAS d’après P et v= ₂ ABM = MAS

D’après P ,on a w = ₁ NSM = NAM = u + v et MNS = AMN = BAM + ABM

= u + v = w.

Le triangle MNS est donc isocèle de sommet M et l’on a MN = MS, c’est à dire MS = 2MI.

2^ème problème

Soit C’ le point d’intersection de MT avec AB. On va démontrer que C’ est confondu avec le point C.

On désigne par u, v, w et x les angles suivants repérés respectivement par les couleurs rouge, bleue, mauve et verte: u = BAM = BTM = MBS, v = ABM = ATM = MAS, w = ASD et x = BSD.

Comme les triangles TAB et SAB sont isocèles, on a les deux relations :

u sin

v sin ' BC

'

AC  et

x sin

w sin BD

AD .

D’autre part le théorème de Ceva appliqué au triangle SAB et au point M avec la formule des sinus donne l’équation :

sin(BAM).sin(MBS) .sin(ASD) = sin(ABM).sin(BSD)sin(MAS).

Il en résulte : sin²u.sinwsin²v.sinx. D’où

2

u sin

v sin x

sin w

sin 



 



 ou encore

2

' BC

' AC BD

AD 



 



 . Il

apparaît que le point C’ ne dépend pas de la position de M sur l’arc de cercle AB et donc du choix du cercle de centre O.

Comme 4

BD

AD , on en déduit AC’ = 2BC’ et le point C’ est bien confondu avec le point C qui est défini par la même égalité AC = 2BC.