GORIN, il apparaît que les droites AP et BQ se rencontrent en un point D qui est à l’intersection du grand cercle de centre O et de la perpendiculaire en C au diamètre AB

D154 – Le tranchet du cordonnier [*** à la main]

Solution

Le tranchet du cordonnier ou encore le couteau du savetier est une figure très connue depuis Archimède sous le nom grec αρβλος ou arbelos. Une analyse remarquable par son

exhaustivité a été faite par Baptiste GORIN sur les nombreuses propriétés de cette figure.

Nous conseillons vivement au lecteur de s’y reporter :

http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/telecharger/Gorin/Gorin_Arbelos.pdf car il y trouvera les démonstrations géométriques de toutes ces propriétés qui font appel à des notions très simples (théorème de Pythagore et théorème de Thalès) mais aussi à l’inversion,

transformation très élégante, malheureusement oubliée dans les lycées mais que nos lecteurs Pierre Henri Palmade et Paul Voyer ont utilisée dans leur solution respective avec un très grand plaisir !

Sur la base de la démonstration faite en page 3 et suivantes du document de B. GORIN, il apparaît que les droites AP et BQ se rencontrent en un point D qui est à l’intersection du grand cercle de centre O et de la perpendiculaire en C au diamètre AB. Les quatre points C, P, D et Q sont les sommets d’un rectangle dont les diagonales CD et PQ sont égales. On a donc

4bc AC.CB CD

d² ²  . Le produit des deux entiers b et c est un carré parfait.

Par ailleurs, comme le fait apparaître la figure ci-après les points O₁,O,O₂ et I sont disposés à des distances qui s’expriment exclusivement en fonction de b, c et r.

On a les relations : (br)²c²(bcr)²2c(bcr)cos(IOO₁) et )

IOO r)cos(

c 2b(b r)

c (b b r)

(c ² ²   ²    ₂ .

Comme cos(IOO₁)= - cos(IOO₂), on en déduit une relation entre b, c et r à savoir

2

2 bc c

b

c) r bc(b





  . Ce résultat se retrouve en page 20 du document de B. GORIN.

Il s’agit de trouver b et c entiers tels que :

- b + c 150 (dimension maximale en mm d’un demi-empan d’une main), - bc est un carré,

- _{2 2}

c bc b

c) bc(b





 est un entier.

Deux cas possibles :

- b et c sont l’un et l’autre des carrés parfaits. Il n’y a pas de couple (p²,q²) tel que p² q² 150 et _{4 2 2 4}

2 2 2 2

q q p p

) q p ( q p





 est un nombre entier.

- on suppose c>b et l’on pose c = k²b avec k >1. Il en résulte r = ² _{2 4}

2 2

k k 1

b ) k 1 ( k





 . La plus petite solution est obtenue avec k = 4, b = 21mm et r = 20 mm. D’où ² c = 84mm et 2a = 2b + 2c = 210 mm.

La solution suivante avec k = 9 donne b = 91mm, r = 90 mm et c = 729 mm. Les ² dimensions du tranchet dépassent largement l’empan de la main.

Conclusion : les dimensions du tranchet sont alors 2a = 210 mm, 2b = 42 mm et 2c = 168 mm.

Les quatre cercles définis ci-après ont tous même rayon égal à R = c b

bc

 = 16,8mm - cercle de centre O tangent à CD et aux cercles de centres O et ₃ O , ₁ - cercle de centre O tangent à CD et aux cercles de centres O et₄ O , ₂ - le plus grand cercle de centre O tangent à PQ et au cercle de centre O, ₅ - cercle de centre O qui passe par les trois points C,R et S. ₆

Pour la démonstration, on se reportera aux pages 4, 9 et 21 du document établi par B. GORIN.