Solution de Paul Voyer http://oeis.org/A000793

A636. Les (vilains) petits canards

Soit un entier n positif. On considère toutes les partitions de cet entier en une somme d’entiers strictement positifs a1, a2, ….ak tels que a1 + a2 + ….+ ak = n et pour chacune de ces partitions on calcule le PPCM (plus petit commun multiple) des a1, a2, ….ak. On note f(n) la valeur maximale de ces PPCM.

Q1 Calculer f(5),f(10), f(15), f(20). [**]

Q2 Déterminer successivement les entiers n, si possible les plus petits, tel que f(n + 1) = f(n),puis f(n + 2) = f(n), puis f(n + 3) = f(n) et enfin f(n + 4) = f(n). [***]

Q3 Dans la liste infinie des f(n) pour n = 1,2,3,….. démontrer que les termes impairs ne sont jamais divisibles par 11 et que ces (vilains) petits canards sont en nombre fini. Calculer leur somme. [****]

Solution de Paul Voyer http://oeis.org/A000793

Q1

f(5) = ppcm(2,3) = 6 f(10) = ppcm(2,3,5) = 30 f(15) = ppcm(3,5,7) = 105 f(19) = ppcm(3,4,5,7) = 420 Q2

Les premières valeurs sont : 1 f(6) = f(5) = 6

2 f(21) = f(20) = f(19) = 420

3 f(22) = f(21) = f(20) = f(19) = 420

4 f(116) = f(115) = f(114) = f(113) = f(112) = 2 677 114 440

5 f(117) = f(116) = f(115) = f(114) = f(113) = f(112) = 2 677 114 440 Q3

Les seuls f(n) impairs sont f(1) = 1, f(3) = 3, f(8) = 15 et f(15) = 105

Somme = 124