Soit un entier n positif. On considère toutes les partitions de cet entier en une somme d’entiers strictement positifs a₁, a₂, ….ak tels que a₁ + a₂ + ….+ ak = n et pour chacune de ces partitions on calcule le PPCM (plus petit commun multiple) des a₁, a₂, ….ak. On note f(n) la valeur maximale de ces PPCM.
Q₁ Calculer f(5),f(10), f(15), f(20). [**]
Q₂ Déterminer successivement les entiers n, si possible les plus petits, tel que f(n + 1) = f(n),puis f(n + 2) = f(n), puis f(n + 3) = f(n) et enfin f(n + 4) = f(n). [***]
Q₃ Dans la liste infinie des f(n) pour n = 1,2,3,….. démontrer que les termes impairs ne sont jamais divisibles par 11 et que ces (vilains) petits canards sont en nombre fini. Calculer leur somme.
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Notons M(a, ..., b) le PPCM de (a, ..., b). On dira que la partition (a1, ..., ak) est minimale si a1+...+ak=n et f(n)=M(a1, ..., ak). Il est facile de montrer que pour tout n, il existe une partition minimale dont chaque terme est 1 ou une puissance d’un nombre premier.
Pour les premières valeurs de n : f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=M(2, 3)=6, f(6)=M(1, 2, 3)=6, f(7)=M(4, 3)=12, f(8)=M(3, 5)=15, f(9)=M(4, 5)=20, ...
Q1 : f(5)=M(2, 3)=6 ; f(10)=M(2, 3, 5)=30 ; f(15)=M(3, 5, 7)=105 ; f(20)=M(1, 4, 3, 5, 7)=420
Q2 : f(5)=M(2, 3)=6=f(6)
f(19)=M(4, 3, 5, 7)=420=f(20)=f(21)=f(22) (en ajoutant des 1 aux partitions minimales).
Q3 : On a 4+3k<3k+1 et 4*3k>3k+1 ; 8+5k<5k+1 et 8*5k>5k+1 ; 8+7k<7k+1 et 8*7k>7k+1. Puisqu’il existe à chaque fois une décomposition donnant un nombre pair supérieur, 3, 5 et 7 ne peuvent apparaitre qu’avec l’exposant 1 au plus dans un f(n) impair.
Comme 4+3<11 et 4*3>11 ; 4+9<3+11 et 4*9>3*11, 11 ne peut figurer dans un terme impair, qu’il y ait ou non un terme 3. Enfin, pour tout premier p>11, il existe 2k tel que p>2k+11 et p<11*2k : tout premier p>11 ne peut figurer dans un terme impair. Un terme impair n’est donc le produit que des facteurs 3, 5 et 7 avec au plus l’exposant 1.
Comme f(5)=M(2, 3)=6, f(7)=M(4, 3)=12, f(10)=M(2, 3, 5)=30>M(3, 7)=21, et f(12)=M(4, 3, 5)=60>M(5, 7)=35, les seules valeurs impaires sont f(1)=1, f(3)=3, f(8)=M(3, 5)=15 et f(15)=M(3, 5, 7)=105 : f(1)+f(3)+f(8)+f(15)=124.
