Diophante A636 Les (vilains) petits canards
Soit un entier n positif. On considère toutes les partitions de cet entier en une somme d’entiers strictement positifs a1, a2, ….ak tels que a1 + a2 + ….+ ak = n et pour chacune de ces partitions on calcule le PPCM (plus petit commun multiple) des a1, a2, ….ak. On note f(n) la valeur maximale de ces PPCM.
Q1 Calculer f(5),f(10), f(15), f(20). [**]
Q2 Déterminer successivement les entiers n, si possible les plus petits, tel que f(n + 1) = f(n),puis
f(n + 2) = f(n), puis f(n + 3) = f(n) et enfin f(n + 4) = f(n). [***]
Q3 Dans la liste infinie des f(n) pour n = 1,2,3,….. démontrer que les termes impairs ne sont jamais divisibles par 11 et que ces (vilains) petits canards sont en nombre fini.
Calculer leur somme. [****]
Q1
f(5) = 6 (5 = 3 + 2).
f(10) = 30 (10 = 5 + 3 + 2).
f(15) = 105 (15 = 7 + 5 + 3).
f(20) = 420 (20 = 7 + 5 + 4 + 3 + 1).
Q2
f(5 + 1) = f(5) = 6 (6 = 6).
f(19 + 3) = f(19 + 2) = f(19) = 420 (22 = 7 + 6 + 5 + 4, 21 = 7 + 5 + 4 + 3 + 2 et 19 = 7 + 5 + 4 + 3).
f(112 + 4) = f(112) = 2 677 114 440 (116 = 23 + 19 + 17 + 13 + 11 + 9 + 8 + 7 + 5 + 4 et 112 = 23 + 19 + 17 + 13 + 11 + 9 + 8 + 7 + 5).
Q3
Considérons un terme f(p) impair divisible par 11. La partition de p correspondante ne contient aucun nombre pair. Elle contient 9 sinon on aurait choisi 9 et 2 au lieu de 11 car 9 x 2 > 11. De même, on montre qu’elle contient 7, 5 et 3. Mais alors on aurait choisi 8 et 4 au lieu de 9 et 3 (même somme 12) car 8 x 4 > 9 x 3. D’où une contradiction.
Les termes impairs ne sont jamais divisibles par 11.
Selon le même principe, on montre qu’un terme f(p) impair n’est divisible par aucun nombre impair au moins égal à 9.
Il y a quatre (vilains) petits canards : f(1) = 1, f(3) = 3, f(8) = 15 (8 = 5 + 3) et f(15) = 105.
Leur somme est 124.
Note : encore selon le même principe, on peut montrer que, lorsque p ≥ 16, f(p) est toujours divisible par 10.
Jean-Louis Legrand
